Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa di 10 cm e un cateto di 8 cm, sapendo che l'altezza del prisma misura 36 cm, calcola l'area laterale l'area totale.

Svolgimento:
Cateto= √(10² - 8²)= 6 cm
Perimetro del triangolo= 6 + 10 + 8 = 24 cm
Area laterale = p * h = 24*36= 864 cm²
Area di base = (c * c) / 2 = (6*8)/2 = 24 cm
Area totale = Ab + Al = 24 + 864 = 888 cm²

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Un rombo avente le diagonali lunghe 24 cm e 18 cm è la base di un prisma retto alto 27 cm. Calcola l'area della superficie laterale e totale del prisma. Risultato: 1620 cm², 2052 cm².

Svolgimento:
Trova, con Pitagora, il lato del rombo.

Lato = √[(D/2)² + (d/2)²] = √(12² + 9²) = 15 cm

Perimetro rombo = 4 x 15 = 60 cm

Area rombo = 24 x 18/2 = 216 cm²

Area laterale prisma = perimetro x altezza = 60 x 27 = 1620 cm²

Area totale = A lat + 2 x A base = 1620 + 2 x 216 = 2052 cm²

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Un prisma retto è alto 20 cm e ha per base un rombo le cui diagonali sono lunghe 60 cm e 80 cm. Calcolane il volume. [48 000 cm³]

Svolgimento:
Per prima cosa si deve trovare l'area di base del prisma utilizzando la formula dell'area del rombo.
Ab = d1 x d2 / 2 = 60 x 80 / 2 = 2400 cm²

Il volume del prisma si ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza (che già abbiamo).
V = Ab * h = 2400 x 20 = 48 000 cm³

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Un prisma retto ha per base un triangolo isoscele la cui base misura 10 dm e l'altezza 12 dm. Sapendo che l'altezza del prisma è 2/3 del perimetro base. Calcola l'area della superficie totale del prisma. [984 dm.]

Svolgimento:
Si divide la base per due per poi applicare il teorema di Pitagora:
10 : 2 = 5 dm (metà base del triangolo)

√(5² + 12²) = 13 dm (lato obliquo del triangolo)
10 + 13 + 13 = 36 dm (perimetro di base)
(10 x 12) : 2 = 60 dm² (area di base)
(36 x 2) : 3 = 24 dm (altezza del prisma)
36 x 24 = 864 dm² (superfice laterale)
864 + 60 + 60 = 984 dm² (superfice totale)

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Un prisma retto, alto 36 cm, ha per base un rettangolo avente il perimetro di 78 cm. Sapendo che le dimensioni di base sono una i 5/8 dell'altra, calcola l'area della superficie laterale e totale del prisma.

Svolgimento:
78:2=39 cm (semiperimetro base rettangolare)
5+8=13
39:13=3
3x5=15 cm (prima dimensione rettangolo)
3x8=24 cm (seconda dimensione rettangolo)
15x24=360 cm² (area base prisma)
15x36=540 cm² (area faccia laterale prisma)
24x36=864 cm² (area altra faccia laterale prisma)
(540+864)x2=2808 cm² (superficie laterale prisma)
2808+(360x2)=3528 cm² (area totale prisma)

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Un prisma retto, alto 52 cm, ha per base un trapezio rettangolo avente il lato obliquo lungo 17 cm e l'altezza lunga 15 cm. Calcola l'area della superficie totale del prisma, sapendo che la base maggiore del trapezio è i 5/3 della base minore.

Svolgimento:
√(17² - 15²) = 8 cm (proiezione del lato obliquo e differenza fra le basi)
5 - 3 = 2
8 : 2 = 4
4 x 5 = 20 cm (base maggiore)
4 x 3 = 12 cm (base minore)
[(20 + 12) x 15] : 2 = 240 cm² (area di base)
20 + 12 + 17 + 15 = 64 cm (perimetro di base)
64 x 52 = 3328 cm² (superficie laterale)
3328 + 240 + 240 = 3808 cm² (superficie totale)

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Un prisma retto ha come base un triangolo rettangolo con l'ipotenusa di 17 cm ed un cateto di 15 cm. L'altezza del prisma è 7/3 del cateto maggiore del triangolo di base. Calcola il volume del solido.

Svolgimento:
Per calcolare il volume occorre avere l'area di base e l'altezza del solido. Iniziamo a trovare la base e l'altezza del triangolo rettangolo.

Troviamo l'altro cateto col teorema di Pitagora:

c2 = √17² - 15² = √289 - 225 = √64 = 8 cm

A questo punto basta applicare la formula.

h = 1/2 * i * c2 = 1/2 x 17 x 8 = 64 cm

Area triangolo = b * h : 2 = 15 * 64 : 2 = 510 cm²

h del prisma = 15 x 7 : 3 = 35 cm

Volume = Ab * h = 510 x 35 = 17850 cm³

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Un solido di sughero (peso specifico 0,25), alto 20 cm , è stato ottenuto da un parallelepipedo rettangolo nel quale lateralmente, da parte a parte, è stato praticato da un foro, avente la forma di un prisma quadrangolare regolare, la cui area di base misura 144 cm². Sapendo che il volume del parallelepipedo è di 8640 cm³ e che la base del rettangolo in cui è stato praticato il foro è lunga 24 cm, calcola il peso e l'area della superficie totale del solido.

Svolgimento:

PARALLELEPIPEDO:
h=20
V=[A(b)*h]=8640
8640=[A(b)*20]
A(b)=(8640:20)=432
A(b)=(b*h)=432
b=24
432=(24*h)
h=(432:24)=18
p=(2b+2h)=[(2*24)+(2*18)]= (48+36)=84
2A(b)=(2*432)=864
S(l)=(p*h)=(84*20)=1680
S(t)=[S(l)+2A(b)]= (1680+864)=2544
ps=0,25
P=(V*ps)=(8640*0,25)=2160

PRISMA:
A(b)=(l)²=144
l=√(144)=12
p=(l*4)=(12*4)=48
S(l)=(p*h)=(48*12)=576
V=[A(b)*h]=(144*12)=1728
ps=0,25
P=(V*ps)=(1728*0,25)=432

SOLIDO:
S(t)= [S(t/parall.)-A(b)/prisma)+S(l/prisma) =(2544-144+576)=2976
P=[P(parall)-P(prisma)]=(2160-432)=1728

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L'area totale e l'area laterale di un prisma quadrangolare regolare sono 304,5 cm² e 208 cm². Calcola il perimetro di base.

Svolgimento:
Sappiamo che l'area totale è data dalla somma dell'area laterale più l'area delle due basi. Facendo il calcolo inverso e quindi sottraendo dall'area totale quella laterale otteniamo la somma delle due aree di base.

2Ab = 304,5 - 208 = 96,5 cm

Ab = 96,5 : 2 = 48,25 cm

La base è quadrangolare quindi facendo la radice quadrata dell'area di base otteniamo il lato di base:
l = √48,25 = 6,95 cm (l'ho arrotondato per eccesso)

P = 6,95 x 4 = 27,8 cm

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Due prismi quadrangolari regolari equivalenti hanno gli spigoli di base lunghi rispettivamente 20 cm e 15 cm .Calcola la misura delle altezze dei due prismi, sapendo che la loro differenza misura 7 cm. RISULTATI: 9cm E 16 cm

Svolgimento:

Essendo i due solidi equivalenti cioè con stesso volume quello con area di base maggiore avrà l'altezza minore viceversa l'altro:
altezza maggiore = x
altezza minore = x-7

imposta la seguente equazione:
20²(x-7) = 15²x
400(x-7) = 225x
400x -2800 = 225x
400x -225x = 2800
175x = 2800
x = 2800/175
x = 16
altezza del solido più alto = x = 16cm
altezza del solido più basso = x-7 = 16-7 = 9cm.

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Un prisma ha per base un triangolo rettangolo con un cateto di 7 dm e l'ipotenusa di 25 cm. Sapendo che la superficie totale è di 1568 dm², trova il volume del solido. [2100 dm³]

Soluzione:

Cateto maggiore = √(25² - 7²) = 24 dm
Perimetro di base = 25 + 7 + 24 = 56 dm
Area di base = (7 x 24) : 2 = 84 dm²
Superficie laterale = 1568 - (84 x 2) = 1400 dm²
Altezza del prisma = 1400 : 56 = 25 dm
Volume = 84 x 25 = 2100 dm³

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In un rombo le diagonali sono una i 5/12 dell'altra e la loro somma è 68 cm. Calcola la superficie totale del prisma che ha per base il rombo, sapendo che è alto 24 cm. [3456 cm²]

Soluzione:
d= (68x5):17= 20cm
D= (68-20)cm= 48cm

Trovate le due diagonali non ci resta che calcolare l'area del rombo che sarebbe l'area di base.

Ab = (d x D) : 2 = 20 x 48 : 2 = 480 cm²

Adesso dobbiamo trovare l'area laterale ma ci serve il perimetro di base che non abbiamo. Per trovarlo dobbiamo prima ricavarci il valore del lato del rombo con il teorema di Pitagora, ma dobbiamo usare le diagonale a metà.

l = √ 24² + 10² = 576 + 100 = √676 = 26 cm

Adesso troviamo il perimetro.

P = l x 4 = 26 x 4 = 104 cm

Ora possiamo trovare l'area laterale.

Al = P x h = 104 x 24 = 2496 cm²

E per finire sommiamo l'area della base, cioè del rombo, con l'area laterale ed otteniamo l'area totale. Non dimenticate che nel prisma le basi sono due, quindi il 480 vale due volte.

At = 480 + 480 + 2496 = 3456 cm²

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Un solido,che ha l'area della superficie totale di 4320 cm², è costituito da un prisma regolare quadrangolare e da una piramide aventi le basi coincidenti; sapendo che l'area della superficie laterale del prisma è 1920 cm² e che l'apotema è 5/6 dello spigolo di base,calcola il volume del solido.
[20400 cm³]

Svolgimento:

poni spigolo base = x ed apotema= 5/6 x

area base prisma = x * x = x²

perimetro base = 4x

area laterale prisma = area totale - area base prisma - area laterale piramide

1920 = 4320 - x² - (4x * 5/6 x * 1/2)

1920 - 4320 = - x² - 5/3 x²

- 2400 = - 8/3 x²

8/3 x² = 2400

x² = 2400 * 3/8 = 900

x = √900 = 30 cm (spigolo base)

apotema piramide = 5/6 * 30 = 25 cm

perimetro base = 30 x 4 = 120 cm

area base = 30 x 30 = 900 cm²

apotema base = 30 : 2 = 15 cm

altezza prisma = area laterale/perimetro = 1920/120 = 16 cm

Volume prisma = 900 x 16 = 14400 cm³

altezza piramide (con Pitagora) = √(25² - 15²) = 20 cm

Volume piramide = 900 x 20/3 = 6000 cm³

Volume solido = 14400 + 6000 = 20400 cm³

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Un prisma quadrangolare regolare ha l'area di base di 49 cm², sapendo che l'altezza misura 25 cm, calcola la superficie totale ed il volume del solido.

Svolgimento:
Se il prisma è quadrangolare regolare vuol dire che tutte le sue facce sono poligoni regolari ovvero hanno tutti i lati uguali. Ora, trattandosi di un poligono quadrangolare regolare, il prisma avrà una base quadrata.
Per cui il lato della base sarà uguale alla radice quadrata di 49:

Lato base = √49 = 7 cm

Ora, dato che l'altezza è di 25 cm possiamo calcolarci tutto il resto.

Volume = Area di base * altezza = 49 * 25 = 1225 cm²
Superficie totale = 2*Area di base + 4*lato*altezza = 2*49 + 4*7*25 = 98 + 700 = 798 cm²

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La misura di base di un prisma quadrangolare è 15 cm e la superficie laterale è 1260 m². Determina la superficie totale di un altro prisma equivalente al primo e avente per base un rombo, sapendo che la diagonale è 12/5 dell'altra e che la loro differenza è 21 m. Calcola inoltre il volume e il peso sapendo che e di vetro.

Svolgimento:
Quadrangolare significa che la base è un quadrato quindi possiamo trovare sia il perimetro di base che l'area di base conoscendo il lato di base.

Pb = 15 x 4 = 60 cm

Ab = 15 x 15 = 225 cm²

Adesso ci serve l'altezza che la otteniamo dividendo l'area laterale per il perimetro di base.

h = Al / Pb = 1260 / 60 = 21 cm

Area totale = 2Ab + Al = 450 + 1260 = 1710 cm²

Avendo l'area di base e l'altezza, facciamo il prodotto e troviamo il volume.

V = Ab x h = 225 x 21 = 4725 cm³

Il volume ci serviva per il principio di equivalenza, nelle figure piane sono equivalenti quelli che hanno la stessa area mentre nelle figuri solide sono equivalenti se sono sovrapponibili attraverso un movimento rigido, ovvero devono avere lo stesso volume.

Per conoscere il valore delle diagonali del rombo bisogna utilizzare l'equazione.

12/5x - x = 21
7/5x = 21
x = 15 cm

15 x 12 : 5 = 36 cm

Diagonale minore = 15 cm
Diagonale maggiore = 36 cm

Area del rombo = (15 x 36) : 2 = 270 cm²

Altezza del rombo = V : Ab = 4725 : 270 = 17,5 cm

Lato del rombo = A : h = 270 : 17,5 = 15,42 cm

Area laterale del 2° prisma = Pb x h = 61,7 x 17,5 = 1080 cm²

Volume del 2° prisma = Ab x h = 270 x 17,5 = 4725 cm³ (il volume mi è risultato uguale, questo è un buon segno).

Per calcolare il peso del 2° prisma bisogna moltiplicare il Volume per il peso specifico del vetro. Ipotizzo che il peso specifico sia 2,5.

P = V x ps = 4725 x 2,5 = 11812 grammi = 11 kg

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Un manicotto di ferro (ps=7,8) è costituito da un prisma quadrangolare regolare con un foro cilindrico che lo attraversa completamente avente le basi iscritte in quelle del prima; sapendo che l'area della superficie laterale del foro è 1884 m e che il suo diametro è 2/3 dell'altezza, calcola l'area della superficie totale e il peso del manicotto.

Svolgimento:
Chiami
x= raggio del foro
2x= diametro= lato base prisma
altezza prisma=(3/2)2x=3x
superficie laterale cilindro = circonferenza base x altezza =
2xπ*3x=1884
6x²π=1884
x²=1884:6π=100
x=√100=10-->
lato base prisma = 20 m
altezza prisma = 30 m

Superficie laterale prisma = perimetro x altezza =
(20*4)*30=2400 m²

A questa sommo le due superfici di base con la superficie laterale cilindro e sottraggo le due aree di base del cilindro

aree 2 basi prisma = 2*(20*20)= 800 m²
aree 2 basi cilindro = 2*(πR^2)= 200π= 628 m²

superficie totale = 2400+1884+800-628= 4456 m²

volume prisma = area base x altezza =
400*30=12000 m³
volume cilindro = area base x altezza =
100π*30=9420 m³
volume solido = 12000-9420 = 2580 m³
peso = volume x ps = 2580x7.8= 20124 t

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Un prisma retto, alto 45 cm, ha per base un rombo ed è sormontato da un prisma retto triangolare,alto 36 cm, la cui base è congruente alla metà del primo prisma. Sapendo che l'area del rombo è di 384 cm² e una sua diagonale misura 32 cm, calcola la superficie e il volume del solido.
I risultati sono 6672 cm² e 24192 cm³.

Svolgimento:
d rombo = 32
area rombo = 384
d' rombo = 384*2/32 = 24
lato rombo = √[(32/2)^2+(24/2)^2] = 20
2p rombo = 20*4 = 80
area laterale rombo = 80*45 = 3600
h prisma = 45
Volume rombo = 384*45 = 17280

h retto = 36
area base triangolo = 384/2 = 192 cm
Volume triangolo = 192*36 = 6912 cm²
lato triangolo = √(192*4/√3) = 21 cm arrotondato
2p triangolo = 21*3 = 63 cm
area laterale = 63*36 = 2268 cm²
volume totale = 17280+6912 = 24192 cm³
area totale = 384+3600+192+2268+(384-192) = 6636 cm²

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Un prisma retto di volume 12 cm³ ha la base un triangolo isoscele che ha l'altezza e il lato lunghi 1,6 cm e 3,4. Determina l'area della superficie totale.

Svolgimento:
Il triangolo isoscele diviso in due parti dall'altezza forma un triangolo rettangolo con metà base del triangolo isoscele e quindi si usa la formula del Teorema di Pitagora e più precisamente quello riferito al triangolo isoscele.

Lato di Base : 2 = √3,4² - 1,6² = √11,56 - 2,56 = √9 = 3 cm

L = 3 : 2 = 1,5 cm

Adesso con il lato di base appena calcolato e l'altezza possiamo calcolare l'area del triangolo isoscele, cioè l'area inferiore del solido.

Area di base = b x h / 2 = 1,5 x 1,6 / 2 = 1,2 cm²

Per trovare l'altezza del Prisma bisogna dividere il Volume per l'Area di Base che ci siamo calcolati.

h = V / Ab = 12 : 1,2 = 10 cm

Adesso ci serve il perimetro di base prima di proseguire con la formula per trovare l'area laterale del prisma.

P = 3,4 + 3,4 + 1,5 = 8,3 cm

Per calcolare l'area laterale si moltiplica il perimetro di base per l'altezza del solido (non quella del triangolo).

Al = p x h = 8,3 x 10 = 83 cm²

Per trovare l'area della superficiale totale bisogna sommare due volte l'area di base e l'area laterale.

Area totale = 83 + 1,2 + 1,2 = 85,4 cm²

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Un solido è costituito da un prisma regolare quadrangolare sormontato da un cono avente la base inscritta in quella del prisma. Il perimetro di base del prisma è lungo 64 cm. e l'apotema del cono è 17 cm. Calcola l'area di superficie totale e volume del solido, sapendo che l'altezza del prisma è il doppio di quella del cono.
lato base prisma = l = P/4 = 64/4 = 16 cm
raggio circonferenza inscritta = r = l/2 = 16/2 = 8 cm

Per determinare l'altezza del cono applico il T. di Pitagora al triangolo rettangolo avente per cateti i raggio di base e l'altezza e per ipotenusa ha l'apotema. Quindi:

h cono = rad ( a² - r²) = rad ( 17² - 8²) = √( 289 - 64) = √225 = 15 cm
h 'prisma = 2* h cono = 2 * 15 = 30 cm
Ab prisma = l² = 16^2 = 256 cm²
Al prisma = Pb * h' = 64 * 30 = 1920 cm²
At prisma = Al + 2* Ab = 1920 + 2 * 256 = 1920 + 512 = 2432 cm²

Al cono = a * r *π = 17 * 8 * π =136 π = 427,04 cm²
Ab cono = r² * π = 8² * π = 64π = 200,96 cm²

At solido = At prisma + Al cono - Ab cono = 2432 + 427,04 - 200,96 = 2658,08 cm²

Nota Bene: Bisogna sottrarre l'area di base del cono, perché non è visibile e non permette di vedere tutta la base superiore del prisma.

V prisma = Ab * h' = 256 * 30 = 7680 cm³
V cono = π * r² * h /3 = π * 8² * 15/3 = π * 64 * 5 = 1004, 800 cm³

V totale solido = V prisma + V cono = 7680 + 1004, 800 = 8684,800 cm³

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Il volume di un prisma pentagonale regolare è di 165,12 cm. Sapendo che il perimetro di base è 20 cm. Calcola l'area della superficie totale del prisma.

Svolgimento:

Spigolo di base
l = 2p/5 = 20 : 5 = 4 cm

Apotema del pentagono
a = l * 0,688 = 2,752 cm

Area di base
Sb= p*a = 10 x 2,752 = 27,52 cm²

Altezza prisma
h = V/Sb = 165,12 : 27,52 = 6 cm

Superficie laterale
Sl = 2p * h= 20 x 6 = 120 cm²

Superficie totale
St = Sl + 2 Sb = 120 + 2 . 27,52 = 175, 04 cm²

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