Determina l'area della superficie laterale di un parallelepipedo rettangolo, sapendo che l'altezza e le dimensioni della base sono direttamente proporzionali ai numeri 2,4,7 e che la loro somma misura 78 dm.

Dati:
h : 2 = d1 : 4 = d2 : 7
h + d1 + d2 = 78 dm

Procedimento:
(h + d1 + d2) : (2+4+7) = h : 2
78 : 13 = h : 2
h = (78*2) / 13 = 12 dm

(h + d1 + d2) : (2+4+7) = d1 : 4
78 : 13 = d1 : 4
d1 = (78 * 4) / 13 = 24 dm

(h + d1 + d2) : (2+4+7) = d2 : 7
78 : 13 = d2 : 7
d2 = ( 78 * 7 ) / 13 = 42 dm

Perimetro di base = 2 * (d1 + d2) = 2 * ( 24 dm + 42 dm) = 132 dm
Superficie laterale = Perimetro di base * altezza = 132 dm * 12 dm = 1584 dm²

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Il volume di un parallelepipedo rettangolo è 4875 cm³, l'altezza e una dimensione di base misurano rispettivamente 25 cm e 13 cm. Determina la lunghezza dell'altra dimensione.

Svolgimento:
area base = V/h = 4875 : 25 = 195 cm²
Dimensione mancante = 195 : 13 = 15cm

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Un parallelepipedo rettangolo, alto 5 cm, ha l'area della superficie laterale di 360 cm². Sapendo che gli spigoli di base sono uno il triplo dell'altro, calcola il volume.

Svolgimento:
2p base = 360/5 = 72 cm
spigoli = a, b
2p = (a+3a)*2 = 8a = 72
a = 72/8 = 9 cm
b = 9*3 = 27 cm
area base = 9*27 = 243 cm²
volume = 243*5 = 1215 cm³

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In un parallelepipedo rettangolo le tre dimensioni sono proporzionali ai numeri 3, 4, 12 e la loro somma misura 380 cm. Calcola l'area della superficie totale e il volume del parallelepipedo.

Svolgimento:
Le misure valgono 3x, 4x e 12x quindi:

3x + 4x + 12x = 380

da cui si deve ricavare x:

19x = 380
x = 380/19 = 20

e le dimensioni sono
1° lato base = 3 x 20 = 60 cm
2° lato base = 4 x 20 = 80 cm
altezza parallelepipedo = 12 x 20 = 240 cm

Area totale = 2 * (a * b + a * c + b * c) = 2 x (60 x 80 + 60 x 240 + 80 x 240) = 2 x (4800 + 14400 + 19200) = 76800 cm²

Volume = a * b * c = 60 x 80 x 240 = 1152000 cm³

Il risultato dovrebbe essere questo.

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Calcola il volume e l'area totale di un parallelepipedo rettangolo in cui una dimensione misura 15 cm e le altre due sono rispettivamente 7/10 e 5/3 della prima.

Svolgimento:
Il problema non lo specifica quindi si potrebbe pensare 15 cm come altezza del parallelepipedo mentre le altre due come dimensioni del rettangolo di base.

1° Dimensione = 15 x 7 / 10 = 10,5 cm
2° Dimensione = 15 x 5 / 3 = 25 cm

Area totale = 2 * (a * b + a * c + b * c) = 2 x (10,5x25 + 10,5x15 + 25x15) = 2 x (262,5 + 157,5 + 375) = 2 x 795 = 1590 cm²

Volume = a * b * c = 15 x 10,5 x 25 = 3937,5 cm³

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Un Parallelepipedo rettangolo ha le misure delle dimensioni rispettivamente di 14,4 cm 10,8 cm e 24 cm calcola la misura della diagonale e l'area della superficie totale.
Dovrebbero uscire rispettivamente: 30 cm e 1520,64 cm²

Svolgimento:
DIAGONALE = √( 14,4 * 14,4 + 10,8 * 10,8 + 24 * 24 ) = √900 = 30 cm

14,4 * 2 + 10,8 * 2 = 50,4 cm --- perimetro di una faccia

50,4 * 24 = 1.209,6 cm² --- area laterale

14,48 * 10,8 * 2 = 311,04 m² --- area delle due facce di base

311,04 + 1.209,6 = 1.520,64 m² --- area della superficie totale

ps.
per trovare la diagonale di un parallelepipedo si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per ipotenusa la diagonale e per cateti la diagonale di una faccia e la terza dimensione del parallelepipedo; per terza dimensione intendo quella che non appartiene alla faccia di cui uso la diagonale come cateto.
con l'esperienza ti accorgerai che si può trovare la diagonale con la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni.

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Un solido di sughero (peso specifico 0,25), alto 20 cm , è stato ottenuto da un parallelepipedo rettangolo nel quale lateralmente, da parte a parte, è stato praticato da un foro, avente la forma di un prisma quadrangolare regolare, la cui area di base misura 144 cm². Sapendo che il volume del parallelepipedo è di 8640 cm³ e che la base del rettangolo in cui è stato praticato il foro è lunga 24 cm, calcola il peso e l'area della superficie totale del solido.

Svolgimento:

PARALLELEPIPEDO:
h=20
V=[A(b)*h]=8640
8640=[A(b)*20]
A(b)=(8640:20)=432
A(b)=(b*h)=432
b=24
432=(24*h)
h=(432:24)=18
p=(2b+2h)=[(2*24)+(2*18)]= (48+36)=84
2A(b)=(2*432)=864
S(l)=(p*h)=(84*20)=1680
S(t)=[S(l)+2A(b)]= (1680+864)=2544
ps=0,25
P=(V*ps)=(8640*0,25)=2160

PRISMA:
A(b)=(l)²=144
l=√(144)=12
p=(l*4)=(12*4)=48
S(l)=(p*h)=(48*12)=576
V=[A(b)*h]=(144*12)=1728
ps=0,25
P=(V*ps)=(1728*0,25)=432

SOLIDO:
S(t)= [S(t/parall.)-A(b)/prisma)+S(l/prisma) =(2544-144+576)=2976
P=[P(parall)-P(prisma)]=(2160-432)=1728

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Un solido alto 20 cm ha la forma di un parallelepipedo rettangolo avente il perimetro di base di 60 cm e una dimensione lunga 12 cm. Esso presenta da parte a parte un foro le cui dimensioni di base sono congruenti a 1/3 di quelle del parallelepipedo esterno. Calcola il peso del solido, sapendo che è di vetro (peso specifico 2,5).

Svolgimento:
Dimensione 2= (perimetro - dimensione 1 x 2) / 2= [60 x (12 x 2)] / 2 = 18 cm
Area base= dimensione 1 x dimensione 2 = 12 x 18 = 216 cm²
Volume parallelepipedo= area base x altezza = 216 x 20 = 4320 cm³
Dimensioni foro = 4cm; 12cm ---> volume foro = 20cm x 4cm x 6cm= 480 cm³
Volume tot= volume parallelepipedo - volume foro = 4320 - 480= 3840 cm³
m= v x ps---> m= 3840 x 2,5= 9600 g (sono grammi perché l'unità è il cm³)
9600 g = 9,6 kg

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Un parallelepipedo rettangolo è alto 11,7 cm e una sua dimensione di base misura 16,8 cm. Calcola l'area della superficie totale e il volume del parallelepipedo sapendo che l'area della superficie laterale è 831,87 cm.

Svolgimento:
Perimetro di base = area laterale : altezza = 831,87 : 11,7 = 71,1 cm

Una dimensione di base l'abbiamo e sottraendo questa (per due volte) dal perimetro otteniamo l'altra dimensione:

Somma dimensioni di base = (71,1 - 16,8 - 16,8) = 37,5 cm

2° dimensione = 37,5 : 2 = 18,75 cm

Area di base = 18,75 x 16,8 = 315 cm²

Area totale = 2Ab + Al = 315 + 315 + 831,87 = 1461,87 cm²

Volume = a * b * h = 16,8 x 18,75 x 11,7 = 3685,5 cm³

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Un parallelepipedo rettangolo, alto 5 cm, ha l'area della superficie laterale di 360 cm. Sapendo che gli spigoli di base sono uno il triplo dell'altro, calcola il volume.

Svolgimento:

360/5= 72 perimetro della base

la base ha per lati x e 3x
x+x+3x+3x= 72
8x = 72
x = 9 (questo è il lato minore)

Lato maggiore = 9 x 3 = 27
Area base = 9 x 27 = 243 cm²
Volume = 243*5= 1215 cm³

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Un parallelepipedo rettangolo avente l'area di base di 240 cm², è alto 25 cm. Calcolane l'area della superficie totale e il volume sapendo che le dimensioni di base sono una i 5/3 dell'altra.

Svolgimento:
√240:(5x3) = 4 cm (unità frazionaria)
4x5 = 20 cm (una dimensione di base)
4x3 = 12 cm (altra dimensione di base)
(20+12)x2 = 64 cm (2p)
64x25 = 1600 cm² (Sl)
240x2+1600 = 2080 cm² (SUP. TOTALE)
20x12x25 = 6000 cm³ (volume)

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Un pezzo di marmo (ps 2,5), a forma di parallelepipedo a base quadrata di area 400 cm², pesa 30 kg. Trova la superficie totale del pezzo di marmo.[3200 cm²]

Soluzione:

Se il parallelepipedo pesa 30 Kg il suo volume sarà:

V = peso (grammi) / Ps = 30.000 / 2,5 = 12.000 cm³

dunque la sua altezza sarà:

h = V / Sb = 12.000 / 400 = 30 cm

lo spigolo di base del parallelepipedo è:

L = √Sb = √400 = 20 cm

e dunque il perimetro di base sarà:

Pb = 4 * L = 4 * 20 = 80 cm

e quindi la superficie laterale sarà:

Sl = Pb * h = 80 * 30 = 2.400 cm²

e la superficie totale sarà:

St = Sl + 2 * Sb = 2.400 + 2 * 400 = 3.200 cm²

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Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base di 9 dm e 12 dm; trova la diagonale e il volume, sapendo che la superficie totale è di 552 dm². [17 dm; 864 dm³].

Soluzione:

Il perimetro di base è:

Pb = 2 * 9 + 2 * 12 = 42 dm

e la superficie di base è:

Sb = 9 * 12 = 108 dm²

Pertanto la Superficie laterale è:

Sl = St - 2*Sb = 552 - 2*108 = 336 dm²

e quindi l'altezza sarà:

h = Sl / Pb = 336 / 42 = 8 dm

La diagonale di base la trovi con Pitagora:

Db = √9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 dm

La diagonale del parallelepipedo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti la diagonale di base e l'altezza:

D = √Db² + h² = √15² + 8² = √225 + 64 = √289 = 17 dm

Il volume sarà il prodotto delle 3 dimensioni:

V = l * p * h = 12 * 9 * 8 = 864 dm³

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Un obelisco è formato da un cubo sormontato da un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni della base di 14 m e 5 m, l'area di una faccia di un cubo 256 e l'area totale del solido è 1669. calcola il volume e il peso del solido supponendo che sia di bronzo (ps 8,8)

Risoluzione:
b=14m
hr=5m
Ac=256m
Ats=1669m
l=√256=16cm
Abr=14*5=70m
pr=(14+5)*2=38m
Abc-r=256-70=186m
Alc=256*4=1024m
Alp=1669-1024-256-70-186=133cm
hp=133/38=3,5m
Vc=16³=4096m
Vp=70*3,5=245m
Vt=4096+245=4341m
P=4341*8,8=38200,8Kg

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Le facce di un parallelepipedo rettangolo hanno rispettivamente le seguenti aree: 864, 384, 576.
Quale è il volume del parallelepipedo?

Svolgimento:
Il volume di un parallelepipedo è pari al prodotto delle sue 3 dimensioni (base, altezza e profondità) che noi chiameremo: a,b,c.
Per cui: V (volume) = a*b*c

Ora, le facce di un parallelepipedo non sono altro che il prodotto di due delle dimensioni del parallelepipedo, per cui possiamo impostare un sistema con le 3 equazioni seguenti:
Faccia1 = a*b = 576
Faccia2 = b*c = 864
Faccia3 = a*c = 384

Ora risolviamo le varie equazioni del sistema:
a = 576/b
b = 864/c
a*c = 384 --> 576/b * c = 384 --> 576*c/864 * c = 384 --> c² = 384*864/576 --> c² = 576 --> c = 24

b = 864/c = 864/24 = 36
a = 576/b = 576/36 = 16

Volume = a*b*c = 16 * 36 * 24 = 13824

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Un parallelepipedo a base rettangolare ha le seguenti dimensioni: lunghezza 21 cm, larghezza 3/7 della lunghezza e altezza 18 cm. Calcola l'area totale e laterale del parallelepipedo.

Svolgimento:
Per prima cosa ci troviamo il valore della larghezza.

L = 21 x 3 : 7= 9 cm


Area laterale = 2 * (a * c + b * c) = 2 (21x18 + 9x18) = 2 (378 + 162) = 1080 cm²
Area totale = 2 * (a * b + a * c + b * c) = 2 (21x9 + 21x18 + 9x18) = 2(189+ 378 +162) = 1458 cm²

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L'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo è 71,28 cm² e l'area di base 8,64 cm². Sapendo che una dimensione di base è i 3/2 dell'altra, calcola:
-l'area della superficie totale di un parallelepipedo, alto il doppio di quello dato e ad esso equivalente, sapendo che il suo perimetro di base è 8,76 cm;
-il peso dei due parallelepipedi che sono il primo di ferro (ps= 7,8) e il secondo di rame (ps= 8,9).

I risultati sono : 87,48 cm² (cm alla seconda), 303,264 g , 346,032 g

Svolgimento:
71,28 - 8,64 * 2 = 54 cm² --- area laterale

√¯ ( 8,64 * 3 / 2 ) = 3,6 cm --- dimensione maggiore del rettangolo di base

√¯ ( 8,64 * 2 / 3 ) = 2,4 cm --- dimensione minore

2 * ( 3,6 + 2,4 ) = 12 cm --- perimetro di base

54 / 12 = 4,5 cm --- altezza del 1°

4,5 * 2 = 9 cm --- altezza del 2°

4,5 * 8,64 = 38,88 cm³ --- volume del 1°, e del 2° che è equivalente

38,88 * 7,8 = 303,264 grammi --- PESO del parallelepipedo di ferro

38,88 * 8,9 = 346,032 grammi --- PESO del parallelepipedo di rame

38,88 / 9 = 4,32 cm² --- area di base del 2°

8,76 * 9 = 78,84 cm² --- area laterale del 2°

78,84 + 2 * 4,32 = 87,48 cm² --- AREA TOTALE del parallelepipedo di rame

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L'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo è 1038 cm², il perimetro di base 62 cm e una dimensione di base misura 15 cm. Calcola:
-il volume e la misura della diagonale del parallelepipedo;
-il peso e l'area di base di un parallelepipedo equivalente ai 2/3 del primo, sapendo che è di vetro (ps=2,5) ed è alto 12 cm.

I risultati sono : 2160 cm³ (cm alla terza) , 23,7 cm , 3600 g , 120 cm² (cm alla seconda)

Svolgimento:
At = 1038 cm²
Pb = 62 cm
a = 15 cm
V = ?
peso = ?
Area di base2 = ?

Sottraendo dal perimetro di base due volte la dimensione dataci dal problema otteniamo la somma delle altre due dimensioni.

b + b = 62 - 15 - 15 = 32 cm

Se dividiamo il 32 diviso 2 otteniamo il valore della dimensione di base.

b = 32 : 2 = 16 cm

Area di base del primo parallelepipedo = 15 x 16 = 240 cm²

L'area totale è data dalla somma delle due aree di base e quella laterale. Quindi eseguiamo la formula inversa per ricavarci l'area laterale.

Al = At - Ab - Ab = 1038 - 240 - 240 = 558 cm²

Altezza = 558/62 = 9 cm (formula inversa dell' area laterale)
Volume = Ab x h = 240 x 9 = 2160 cm³
Diagonale del solido = √(15²+16²+9²) = 23,7 cm

2° parallelepipedo:
V = 2160 x 2/3 = 1440 cm³
Ab = V/h = 1440/12 = 120 cm² (formula inversa del volume)
P = V x Ps = 1440 x 2,5 = 3600 g = 3,6 kg:

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Lo spigolo di un cubo è uguale alla diagonale di un parallelepipedo rettangolo. Sapendo che l'area laterale del parallelepipedo è 2314 cm e che le dimensioni della base misurano rispettivamente 18 cm e 10 cm. Calcola l'area totale del cubo.

Svolgimento:
Sul cubo almeno per ora non possiamo fare niente se prima non conosciamo la diagonale del parallelepipedo. Si deve fare lo stesso procedimento eseguito in quest'altro problema, che qui scriverò più brevemente.

AL = 2314  cm²

Serve il perimetro di base.
P = 18 + 10 + 18 + 10 = 56 cm

Poi ci troviamo l'altezza del parallelepipedo.
h = 2314 : 56 = 41,32 cm

Per trovare la diagonale bisogna applicare questa formula.
d = √18² + 10² + 41,32² = √324 + 100 + 1707,34 = √2131,34 = 46,16 cm

E così lo spigolo che sarebbe il lato del cubo è di 46,16 cm

Ed adesso calcoliamo anche l'area:
A = 6 x l² = 6 x 46,16² = 6 x 1641 = 12784,47 cm²

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L'area totale di un parallelepipedo rettangolo è di 1020 cm², le dimensioni della base misura 18 cm e 16 cm. Calcola l'altezza e il volume del parallelepipedo.

Svolgimento:
In questo problema abbiamo l'area totale e come avrai certamente studiato si ottiene sommando le due aree di base più l'area laterale del parallelepipedo. In questo modo:

AT = 2AB + AL

Il problema ci dice che le basi sono di forma rettangolare e che misurano rispettivamente 18 e 16 cm. Quindi è praticamente l'area del rettangolo che si calcola moltiplicando la base per l'altezza. In questo modo:

AB = b x h = 18 x 16 = 288 cm²

Siccome le aree sono 2, perché c'è la base di sotto ma anche quella di sopra moltiplichiamo il valore di una base per 2.

2AB = 288 x 2 = 576 cm²

Adesso abbiamo a disposizione l'area totale che avevamo già da prima e l'area di entrambe le basi, facendo la formula inversa e quindi la differenza otteniamo la formula per trovare l'area laterale.

AL = AT - 2AB = 1020 - 576 = 444 cm²

Adesso devi calcolarti il perimetro di base che ti servirà per la formula successiva.

Pb = 18 + 16 + 18 + 16 = 68 cm

Se facciamo il rapporto tra l'area laterale ed il perimetro di base otteniamo l'altezza del parallelepipedo.

h = AL / Pb = 444 : 68 = 6,53 cm ( l'ho arrotondato per eccesso)

Adesso come ultima cosa manca solo il volume che si ottiene moltiplicando le dimensioni di base del parallelepipedo e l'altezza che ci siamo appena trovati.

V = a x b x h = 18 x 16 x 6,53 = 1880,64 cm³

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