Calcola il perimetro di un quadrato equivalente a un rettangolo avente il perimetro di 360 m e una dimensione di 144 m.

Svolgimento:
Bisogna trovare per prima cosa il rettangolo e sappiamo che i lati del rettangolo sono uguali a due a due.

Somma di due lati rettangolo = 144 + 144 = 288 m
Somma altri 2 lati = 360 - 288 = 72 m
Lato da trovare = 72 / 2 = 36 m

Area rettangolo = 36 x 144 = 5184 m²

Area quadrato = √A = √5184 = 72 m

Perimetro del quadrato = 72 x 4 = 288 m

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Calcola il perimetro e la misura della diagonale di un rettangolo di area 1452 cm², sapendo che l'altezza e i 3/4 della base.

Svolgimento:
dette x e y le due dimensioni,

x*y= 1452 cm²
x = 3/4 y

Sostituisci x nella prima equazione:

y*3/4 y = 1452 cm²
y² = 1452*4/3 cm²
y² = 1936 cm²

y= √(1936 cm²)= 44 cm
x= 3/4 y = 44*3/4= 33 cm

perimetro = (44 + 33) * 2 = 154 cm

La diagonale del rettangolo la trovi col teorema di pitagora:
diagonale= √(44²+33²)= √(1936+1089)= √(3025)= 55 cm

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Due rettangoli equivalenti hanno l’area di 480 cm². La base del primo rettangolo è di 24 cm, la base del secondo poligono supera l’altezza del primo di 10 cm. Calcola la misura della diagonale del secondo rettangolo. Quale dei due quadrilateri ha il perimetro maggiore? [34 cm – 2°]

Svolgimento:
Con la formula inversa troviamo l'altezza del primo.
h = A / b = 480 / 24 = 20 cm

Per calcolare la base del secondo rettangolo di deve aggiungere 10 cm al valore dell'altezza del primo rettangolo.

b2 = h + 10 = 20 + 10 = 30 cm

L'altezza del secondo rettangolo si calcola sempre con la formula inversa usata per il primo rettangolo.
h2 = A2 / b2 = 480 / 30 = 16 cm

Per trovare la diagonale si deve applicare il teorema di Pitagora.
d = √b² + h² = √30² + 16² = √900 + 256 = √1156 = 34 cm

Dato che il problema ci chiede anche quale dei due rettangoli ha il perimetro maggiore bisogna andare a calcolare entrambi i perimetri.

p = (b + h) * 2 = (24 + 20) * 2 = 44 * 2 = 88 cm

p2 = (b2 + h2) * 2 = (30 + 16) * 2 = 92 cm

Il secondo perimetro è quello maggiore.

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In un triangolo la somma della base e della altezza è di 26,5 cm e la loro differenza è di 7,3 cm. Calcola la misura della diagonale di un rettangolo equivalente al triangolo, che ha una dimensione di 7,8 cm. [13 cm]

Svolgimento:
Quando conosci somma e differenza di due grandezze, determini
la grandezza maggiore con la formula ( somma + differenza ) / 2
la grandezza minore con la formula ( somma - differenza ) / 2

( 26,5 + 7,3 ) / 2 = 16,9 cm --- dimensione maggiore

( 26,5 - 7,3 ) / 2 = 9,6 cm --- dimensione minore

16,9 * 9,6 / 2 = 81,12 cm² --- area del triangolo, e del rettangolo equivalente

81,12 / 7,8 = 10,4 cm --- dimensione maggiore del rettangolo

col teorema di Pitagora trovo la misura della diagonale

√( 7,8 * 7,8 + 10,4 * 10,4 ) = √60,84 + √108,16 = √169 = 13 cm --- DIAGONALE

NB: le due diagonali del rettangolo sono uguali

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Il perimetro di un rettangolo è di 12,4 m e la base è 24/7 dell’altezza. Calcola la misura della diagonale e l’area del rettangolo. [5 m – 6,72 m²]

Svolgimento:

Semiperimetro = p/2 = 6.2 m

b = 24/7 h ==> h(1+24/7) = 6.2 ==> h*(31/7)=6.2 ==> h = 6.2*7/31 = 1.4 m

b = 1.4*24/7 = 4.8 m

diagonale = √( b² + h²) = √(4.8²+1.4²) = 5 m

Area = b*h = 4.8*1.4 = 6.72 m²

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Il perimetro di un rettangolo è di 196 cm e l’altezza è 4/3 della base. Calcola la misura della diagonale e l’area del rettangolo.  [70 cm – 2352 cm²]

Svolgimento:
h = 196 / ( 7 * 2 ) * 4 = 56 cm --- altezza

b = 196 / ( 7 * 2 ) * 3 = 42 cm --- base

d =√( 56² + 42²) = 70 cm --- DIAGONALE ( teorema di Pitagora )

A = b * h = 56 * 42 = 2.352 cm² --- AREA

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Il perimetro di un rettangolo è lungo 306 dm e l’altezza supera il doppio della base di 18 dm. Calcola l’area e la misura della diagonale del rettangolo.  [4860 dm² - 117 dm]

Svolgimento:
Dire che l'altezza supera il doppio la base di 18 dm è come scrivere:
h = 2 * b + 18

Inoltre sappiamo che il perimetro è 306dm, che si puo scrivere così:
h * 2 + b * 2 = 306

possiamo unire le 2 equazioni sostituendo la h della prima dentro la seconda:
(2 * b + 18) * 2 + b * 2 = 306

ora abbiamo solo la b e possiamo quindi calcolarla facendo questi passaggi:
4b + 36 + 2b = 306
6b = 306 - 36
6b = 270
b = 270/6
b = 45

ottenuto b possiamo calcolare h usando una delle prime 2 equazioni.. per facilità scelgo la prima:
h = 2 * b + 18
h = 2 * 45 + 18
h = 108

avendo ora a nostra disposizione b ed h possiamo..

..calcolare l'area tramite la formula:
A = b * h = 108 * 45 = 4860 dm²

..calcolare la diagonale grazie al teorema di pitagora.. (la diagonale diventa l'ipotenusa, l'altezza e la base diventano il cateto maggiore ed il minore):
d = √(C² + c²) = √(h² + b²) = √(108² + 45²) = √13689 = 117 dm

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Il perimetro di un rettangolo misura 69 cm e la base supera l’altezza di 10,5 cm. Calcola la lunghezza della diagonale del rettangolo. [25,5 cm]

Svolgimento:
Il perimetro del rettangolo è la somma dei 4 lati, di cui due sono la base e due le altezze.
Se si divide il perimetro per due si ottiene la somma di base e altezza.

b + h = p / 2 = 69 : 2 = 34,5 cm

Adesso va diviso anche la somma in due parti per poi aggiungere e sottrarre la metà di 10,5 cm.

34,5 : 2 = 17,25 cm

10, 5 : 2 = 5,25 cm

h = 17,25 + 5,25 = 22,5 cm (altezza)

b = 17,25 - 5,25 = 12 cm (base)

Per il calcolo della diagonale si deve usare il teorema di Pitagora dato che questa rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo che si viene a formare.

Diagonale = √b² + h² = √12² + 22,5² = √144 + 506,25 = √650,25 = 25,5 cm

La diagonale è di 25,5 cm

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Calcola la misura del perimetro e l’area di un rettangolo sapendo che la differenza fra la diagonale e la base è di 2,4 cm e che la diagonale è 17/15 della base. [55,2 dm – 172,8 dm²]

Svolgimento:
Se la diagonale è 17/15 della base, la base è 15/15

Quindi:
17/15 - 15/15 = 2/15 = 2,4 cm

2,4 / 2 = 1,2 cm --- misura di 1/15

1,2 * 17 = 20,4 cm --- diagonale

1,2 * 15 = 18 cm --- base

Applico il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha la diagonale per ipotenusa e per cateti base e altezza del rettangolo, e trovo la misura dell'altezza.

h = √20,4² - 18² = √92,16 = 9,6 cm --- altezza del rettangolo

p = (9,6 * 2) + (18 * 2) = 55,2 cm --- perimetro

A = b * h = 18 * 9,6 = 172,8 dm² --- area

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La base di un rettangolo è i 5/12 dell’altezza che è di 132 cm. Calcola la misura della diagonale. [143 cm]

Svolgimento:
Per prima cosa si deve trasformare la base da numero frazionario a numero intero.
b = 132 : 12 x 5 = 55 cm

Poi per la diagonale si utilizza il teorema di Pitagora dato che tracciandola corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo.
Diagonale = √b² + h² = √55² + 132² = √3025 + 17424 = √20449 = 143 cm

La diagonale del rettangolo è di 143 cm

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In un rettangolo il perimetro è 112 cm e la base è i 3/4 dell'altezza. Calcola l'area del rettangolo.

Svolgimento:
Se guardate le formule del rettangolo noterete che l'unica che permette di calcolare l'area è:
A = b * h

cioè il prodotto di base ed altezza, ma il problema invece ci dà solamente il loro rapporto ed il perimetro.

Il perimetro del rettangolo non è altro che la somma di base e altezza moltiplicato per due, quindi dividendo per due il perimetro otteniamo la somma della base più l'altezza.

b + h = P / 2 = 112 : 2 = 56 cm

3+4 = 7 (riferito a 3/4)

56 : 7 = 8 cm

h = 8 x 4 = 32 cm (altezza)

b = 8 x 3 = 24 cm (base)

A = b * h = 32 x 24 = 768 cm²

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Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni sono 24 cm e 80 cm. Sapendo che altezza il cui piede cade nel punto di intersezione delle diagonali, misura 9 cm, calcola area della superficie totale e il volume.

Svolgimento:
Volume piramide = (Area di base * altezza) / 3 = (24 cm * 80 cm * 9 cm) / 3 = 5760 cm³

Poichè si tratta di una piramide a base rettangolare essa avrà due apotemi di lunghezza diversa, perchè i triangoli delle facce laterali sono congruenti a due a due. Per questo motivo per calcolare la superficie laterale della piramide occorre calcolare le aree di due facce diverse della piramide e sommarle e infine moltiplicare tutto per 2.

Area faccia 1 = (lato 1 * apotema 1) / 2
Lato 1 = 24 cm
L'apotema 1 lo calcoliamo applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha come cateti l'altezza della piramide e la metà della lunghezza del lato 2:

Apotema 1 = √( 9² + 40²) = √( 1681 cm²) = 41 cm
Per cui: Area faccia 1 = ( 24 cm * 41 cm ) /2 = 492 cm²

Lato 2 = 80 cm
Apotema 2 = √(9² + 12²) = √ (225 cm²) = 15 cm
Area faccia 2 = (80 cm * 15 cm) / 2 = 600 cm²

Superficie laterale piramide = 2 * (Area faccia 1 + Area faccia 2) = 2 * ( 492 cm² + 600 cm²) = 2184 cm²
Area di base = 24 cm * 80 cm = 1920 cm²

Superficie totale piramide = Area di base + Superficie laterale = 1920 cm² + 2184 cm² = 4101 cm²

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Un rettangolo ha l’area di 491,52 cm². Calcola la misura della diagonale sapendo che la base è di 25,6 cm. [32 cm]

Svolgimento:
Per trovare la diagonale del rettangolo bisogna avere sia la base che l'altezza, in questo caso manca l'altezza che si può calcolare utilizzando la formula inversa del rettangolo:

h = A / b = 491,52 / 25,6 = 19,2 cm

Siccome la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli si può pensare che la diagonale sia l'ipotenusa che ci dovremo calcolare e la base e l'altezza siano rispettivamente il cateto maggiore e il cateto minore, da ciò si ha che:

d = √b² + h² = √25,6² + 19,2² = √655,36 + 368,64 = √1024 = 32 cm

La diagonale calcolata è di 32 cm

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L’area di un rettangolo è di 345,6 dm² e l’altezza è di 12 dm. Calcola la misura della diagonale. [31,2 dm]

Svolgimento:
Quando si ha l'area del rettangolo e la sua altezza si può utilizzare la formula inversa per trovare la base che è.

b = A / h = 345,6 / 12 = 28,8 dm

La formula che permette di trovare la diagonale del rettangolo sfrutta il teorema di Pitagora che ha come cateto maggiore la base, come cateto minore l'altezza e la diagonale corrisponde all'ipotenusa.

d = √b² + h² = √28,8² + 12² = √829,44 + 144 = √973,44 = 31,2 dm

La diagonale del rettangolo misura 31,2 dm

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In un rettangolo l’altezza misura 96 m e corrisponde agli 8/15 della base. Calcola la lunghezza della diagonale del rettangolo. [204 m]

Svolgimento:
h= 96 m
h= 8/15
b= 15/15

b= 96 : 8 x 15= 180 m

diagonale= √180² + 96² = 204 m

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La diagonale di un rettangolo è di 51 cm e l’altezza è i suoi 8/17. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo. [138 cm – 1080 cm²]

Svolgimento:
h = 8/17 di 51 = 24 cm

Si utilizza il teorema di Pitagora per trovare la base:
b = √51² - 24² = 2025 = 45 cm

Area = b * h = 45 x 24 = 1080 cm²
Perimetro = 2 x 45 + 2 x 24 = 138 cm

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La diagonale di un quadrato è congruente a quella di un rettangolo che ha l’area di 58,8 dm² e la base di 5,6 dm. Calcola il perimetro e l’area del quadrato. [34 dm – 72,25 dm²]

Svolgimento:
RETTANGOLO: A = 58,8 dm²; b = 5,6 dm

h = A/b = 58,8/5,6 = 10,5 dm
d = √(b² + h²) = √(5,6² + 10,5²) = √(31,36 + 110,25) = √141,61 = 11,9 dm
l = d/√2 = 11,9/1,4 = 8,5 dm
2p = 4l = 4 * 8,5 = 34 dm
A = l² = 8,5² = 72,25 dm²

Area e perimetro del quadrato misurano rispettivamente 72,25 dm² e 34 dm.

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Un rettangolo e un quadrato sono isoperimetrici. La base del rettangolo è di 12 cm e corrisponde ai 3/2 dell’altezza. Calcola la lunghezza della diagonale del quadrato.  [14,1 cm]

Svolgimento:
h = 12*1 /(3/2) = 8 cm
perimetro = (12+8)*2 = 40 cm
lato quadrato = 40/4 = 10 cm
diagonale = 10*√2 = 14,14 cm

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Un quadrato è equivalente a un rettangolo che ha la base di 32 dm, quadrupla dell’altezza. Calcola la misura della diagonale del quadrato.

Svolgimento:
altezza rettangolo = 32:4= 8 dm
A rettangolo= 32 x 8= 256 dm
l = √256= 16 dm
d = √16² + 16² = √256+256= √512= 22,62 dm

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In un rettangolo la diagonale e l'altezza misurano rispettivamente 105 cm e 63 cm. Calcola il perimetro di un rettangolo simile a quello dato sapendo che la sua altezza misura 94,5 cm. [441 cm]

Svolgimento:
la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli, quindi l'altezza del rettangolo è l'altezza del triangolo, la diagonale è l'ipotenusa. Ora dobbiamo trovarci la base del rettangolo che sarebbe anche la base del triangolo:

√¯ (105² - 63²) = 84 cm --- base del 1° rettangolo

2 * ( 63 + 84 ) = 294 cm --- perimetro

294 / 63 * 94,5 = 441 cm --- PERIMETRO del rettangolo simile

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