La tabellina del 3 inizia ad essere più tosta per gli studenti della scuola primaria, ma con la giusta dose di pazienza e studio ripetitivo degli stessi calcoli siamo certi che sarete in grado di superare anche questi calcoli. Inoltre, la tabellina del 4 vi sta aspettando con impazienza e non vede l'ora di essere imparata come tutte le precedenti che avete già studiato.

Indice

1. Spiegazione
2. Tabellina del 3
3. Curiosità
4. Esercizio

Tabellina del 3: spiegazione

Moltiplicare un numero per tre significa triplicarlo.
Per esempio:

20 × 3 = 60

Cioè il numero 60 è composto dal numero 20 ripetuto 3 volte.

Tabellina del 3: tabella

Tabellina	Come si legge
3 × 0 = 0	tre per zero uguale zero
3 × 1 = 3	tre per uno uguale tre
3 × 2 = 6	tre per due uguale sei
3 × 3 = 9	tre per tre uguale nove
3 × 4 = 12	tre per quatto uguale dodici
3 × 5 = 15	tre per cinque uguale quindici
3 × 6 = 18	tre per sei uguale diciotto
3 × 7 = 21	tre per sette uguale ventuno
3 × 8 = 24	tre per otto uguale ventiquattro
3 × 9 = 27	tre per nove uguale ventisette
3 × 10 = 30	tre per dieci uguale trenta

Curiosità

Per imparare la tabellina del tre, la scelta più rapida è quella di memorizzare gli undici risultati della tabellina. Le alternative sono sommare uno stesso numero per tre volte, anche se inizia a essere più difficile questo calcolo rispetto alla tabellina del due.

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

5 + 5 + 5 = 15

3 × 5 = 15

Un'altra alternativa, o meglio un trucco, è quello che quando non si ricordano alcune moltiplicazioni della tabellina del tre, ad esempio:

3 × 9 = quanto fa?

Ma allo stesso tempo ricordate il risultato della tabellina successiva:

3 × 10 = 30

Vi basterà togliere 3 al numero 30 per arrivare al risultato della moltiplicazione precedente.

30 - 3 = 27

Dunque:

3 × 9 = 27

Esercizio

Ecco un problema di matematica che può essere risolto utilizzando la tabellina del 3:

Problema

Luca ha tre bustine e in ogni bustina ci sono 4 figurine. Quante figurine ha in totale Luca?

Soluzione

Poiché ogni bustina contiene 4 figurine e ci sono 3 bustine, possiamo risolvere questo problema moltiplicando il numero di bustine per il numero di figurine in ogni bustina. Utilizzando la tabellina dell'3:

3 × 4 = 12

Quindi, in totale Luca ha 12 figurine.

Canzone tabellina del 3

Dal canale YouTube di Mela Educational eccovi la tabellina del 3, "La canzoncina di Isabella", spiegata attraverso simpatiche immagini e un ritmo così dolce... che siamo certi che prima o poi la imparerai!

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La tabellina del due è una delle preferite dagli studenti della scuola primaria perché si impara facilmente come la tabellina dello zero, dell'uno, del cinque e del dieci. Quelle "difficili" sono le altre, ma la tabellina del due, e più in generale qualsiasi numero moltiplicato per due è davvero semplice da calcolare!

Indice

1. Spiegazione
2. Tabellina del 2
3. Curiosità
4. Esercizio
5. Canzone tabellina del 2

Tabellina del 2: spiegazione

Qualsiasi numero moltiplicato per 2 dà come risultato il doppio del suo valore e diventa automaticamente un numero pari anche se in precedenza era dispari.
Per esempio:

17 × 2 = 34

Tabellina del 2: tabella

Tabellina	Come si legge
2 × 0 = 0	due per zero uguale zero
2 × 1 = 2	due per uno uguale due
2 × 2 = 4	due per due uguale quattro
2 × 3 = 6	due per tre uguale sei
2 × 4 = 8	due per quatto uguale otto
2 × 5 = 10	due per cinque uguale dieci
2 × 6 = 12	due per sei uguale dodici
2 × 7 = 14	due per sette uguale quattordici
2 × 8 = 16	due per otto uguale sedici
2 × 9 = 18	due per nove uguale diciotto
2 × 10 = 20	due per dieci uguale venti

Curiosità

Per imparare la tabellina del due è sufficiente partire dal numero due e poi aggiungere ogni volta tramite somma il numero due (2 + 2 + 2 ecc.) oppure raddoppiare il fattore della moltiplicazione che non sia il 2. Che sia l'addizione o il raddopio del numero, si tratta di calcoli che si possono fare mentalmente e con facilità, e saper fare questo tipo di calcolo è molto utle nelle situazioni quotidiane.

Esercizio

Eccovi un problema di matematica che richiede la tabellina del due per essere risolto.

Problema

Ci sono 2 scatole di cioccolatini e ogni scatola continue 8 cioccolatini. Quanti cioccolatini ci sono in tutto?

Soluzione

Poiché ogni scatola contiene 8 cioccolatini e ci sono 2 scatole, possiamo risolvere questo problema moltiplicando il numero di scatole per il numero di cioccolatini in ogni scatola. Utilizzando la tabellina dell'2:

2 × 8 = 16

Quindi, in totale ci sono 16 cioccolatini.

Canzone tabellina del 2

Dal canale YouTube di Mela Educational eccovi spiegata la tabellina del 2 attraverso una simpatica canzoncina che vede come protagonisti i gatti!

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La tabellina dell'uno è la prima tabellina che viene insegnata agli studenti della scuola primaria. Il motivo? Diversamente dalla tabellina dello zero che non esegue alcun calcolo concreto (dato che non si fa nulla), la tabellina dell'uno, permette di spiegare più facilmente il concetto di moltiplicazione attraverso l'uso di alcuni elementi come sacchetti e caramelle, sacchetti e frutta ecc. Una volta appreso la procedura di come si moltipla un numero, è possibile passare allo studio delle altre tabelline.

Indice

1. Spiegazione
2. Tabellina del 1
3. Curiosità
4. Esercizio
5. Canzone tabellina del 1

Tabellina del 1: spiegazione

Qualsiasi numero moltiplicato per 1 dà come risultato lo stesso numero iniziale, dato che l'uno è l'elemento neutro della moltiplicazione. Conoscere la tabellina dell'uno è indispensabile per il proseguimento scolastico, infatti essendo una moltiplicazione inutile dal punto di vista matematico, può essere calcolata a mente senza scrivere ulteriori righe di calcolo facendovi risparmiare tempo e anche spazio sul foglio / quaderno.
Per esempio:

374638 × 1 = 374638

Tabellina del 1: tabella

Tabellina	Come si legge
1 × 0 = 0	uno per zero uguale zero
1 × 1 = 1	uno per uno uguale uno
1 × 2 = 2	uno per due uguale due
1 × 3 = 3	uno per tre uguale tre
1 × 4 = 4	uno per quatto uguale quattro
1 × 5 = 5	uno per cinque uguale cinque
1 × 6 = 6	uno per sei uguale sei
1 × 7 = 7	uno per sette uguale sette
1 × 8 = 8	uno per otto uguale otto
1 × 9 = 9	uno per nove uguale nove
1 × 10 = 10	uno per dieci uguale dieci

Curiosità

Per imparare la tabellina dell'uno è sufficiente saper contare fino a 10. Dunque basta osservare i primi 10 giorni di un calendario appeso alla parete o di un orologio analogico. Comunque non bisogna sottovalutare l'importanza della moltiplicazione per 1, perché quando andrete a studiare argomenti di matematica futuri, come le equazioni, l'userete spesso per trasformare il segno di un numero da negativo e positivo.

Esercizio

Adesso vi proponiamo un problema di matematica in cui per trovare la soluzione è necessario conoscere la tabellina dell'uno.

Problema

Ci sono 8 buste e ogni busta contiene 1 mela, quante mele ci sono in totale?

Soluzione

Poiché ogni busta contiene 1 mela e ci sono 8 buste, possiamo risolvere questo problema moltiplicando il numero di buste per il numero di mele in ogni busta. Utilizzando la tabellina dell'1:

8 × 1 = 8

Quindi, in totale ci sono 8 mele.

Canzone tabellina del 1

Dal canale YouTube di Mela Educational eccovi la tabellina dell'1 spiegata attraverso una simpatica canzoncina intitolata "Il cha cha cha della tabellina".

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Quando a scuola si iniziano a studiare le tabelline, non si parte mai dallo zero, bensì dalla tabellina dell'uno. Il motivo è che sebbene la tabellina dello zero sia la più semplice da imparare e, inoltre, il numero zero precede il numero uno, non permette facilmente di far capire il concetto di moltiplicazione. Dunque, si tende a preferire a rimandare la spiegazione di questa tabellina in un secondo momento, quando lo studente ha già appreso cosa consiste il procedimento della moltiplicazione, che non si tratta solamente di imparare dei numeri in serie a memoria.

Indice

1. Spiegazione
2. Tabellina dello zero
3. Curiosità
4. Esercizio
5. Videolezione

Tabellina dello zero: spiegazione

Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato zero. La ragione di questo è dovuta al fatto che lo zero nella moltiplicazione annulla ogni quantità. Questa regola vale anche per i numeri molto grandi, i numeri frazionari (con le frazioni) e i numeri decimali (con la virgola).
Per esempio:

374638 × 0 = 0

Tabellina dello zero: tabella

Tabellina	Come si legge
0 × 0 = 0	zero per zero uguale zero
0 × 1 = 0	zero per uno uguale zero
0 × 2 = 0	zero per due uguale zero
0 × 3 = 0	zero per tre uguale zero
0 × 4 = 0	zero per quatto uguale zero
0 × 5 = 0	zero per cinque uguale zero
0 × 6 = 0	zero per sei uguale zero
0 × 7 = 0	zero per sette uguale zero
0 × 8 = 0	zero per otto uguale zero
0 × 9 = 0	zero per nove uguale zero
0 × 10 = 0	zero per dieci uguale zero

Curiosità

A volte gli insegnanti più scherzosi cercano di far cadere nel trabocchetto i propri alunni piazzando lo zero alla fine di un'espressione matematica. Così, dopo che lo studente ha risolto quasi tutte le operazioni, si rende conto che non era nemmeno necessario fare tutti i calcoli, perché bisognava solamente effettuare la moltiplicazione per 0 sin dal principio e il risultato sarebbe stato ugualmente 0.

[(2 + 4) × 5 + 3028 - (7 + 8)] × 0 =

Come potete notare, in questa semplice espressione matematica, lo zero va moltiplicato per tutto ciò che è contenuto dentro le parentesi quadre. Questo vuol dire che, indipendentemente dal risultato, qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero.

Esercizio

Ecco un semplice esempio di un problema di matematica che richiede l'utilizzo della tabellina dello zero.

Problema

Ci sono 5 pacchetti di figurine e non avete preso nessuna figurina da ciascun pacchetto, quanti figurine avete in totale?

Soluzione

Poiché avete preso zero figurine da ciascun pacchetto e i pacchetti sono 6, il numero totale di figurine sarà zero.

Utilizzando la tabellina dello zero:

6 × 0 = 0

Quindi, in totale avete 0 figurine.

Video sulla tabellina dello zero

Nel video la youtuber Anna spiega la tabellina dello zero in modo giocoso e leggero attraverso l'esempio degli incroci!

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La calcolatrice rimane lo strumento migliore per effettuare calcoli matematici precisi e in modo rapido: è il classico che non passa mai di moda. Eppure a volte dà i numeri, anzi, le lettere! Vi è mai capitato di trovare la vocale maiuscola "E" nel risultato dopo aver premuto il tasto dell'uguale? Non si tratta del numero "3" scritto al contrario e non sta a significare nemmeno che la calcolatrice è andata in tilt (Error). La lettera "E" è a tutti gli effetti un simbolo matematico scritto in forma abbreviata. Stiamo parlando della notazione scientifica esponenziale.

Indice

1. Tabella E sulla calcolatrice
2. Come si legge la E sulla calcolatrice

Tabella notazione scientifica per calcolatrice

Simbolo	Notazione scientifica	Numero decimale
1E12	1 ⋅ 10+12	1000000000000
1E9	1 ⋅ 10+9	1000000000
1E6	1 ⋅ 10+6	1000000
1E3	1 ⋅ 10+3	1000
1E-3	1 ⋅ 10-3	0,001
1E-6	1 ⋅ 10-6	0,000001
1E-9	1 ⋅ 10-9	0,000000001
1E-12	1 ⋅ 10-12	0,000000000001

Come si legge la tabella?

Per leggere correttamente la tabella, andremo a prendere per il primo esempio un numero con esponente positivo.

1E9

Questo numero che potrebbe apparire sulla calcolatrice si legge "uno per dieci elevato alla nona". Che nella notazione scientifica si scrive in questo modo:

1 ⋅ 10⁺⁹

Il cui risultato in forma decimale è il numero uno seguito da 9 zeri, perché è stato moltiplicato per un miliardo. Come potete notare è un numero molto grande!

1000.000.000

Quando, invece, l'esponente è negativo, ad esempio:

1E-9

si legge "uno per 10 elevato alla meno nove". Nella notazione scientifica si scrive in questo modo:

1 ⋅ 10^-9

Il cui risultato in forma decimale è un numero molto piccolo perché è stato diviso per un miliardo.

0,000000001

Esempio

Ad esempio, sulla calcolatrice vi appare questo numero:

3,7598584 E+12

Esso sta a significare che il numero 3,75 deve essere moltiplicato per dieci elevato alla dodicesima:

3,75 ⋅ 10¹²

Con numeri molto grandi o molto piccoli, per calcoli scolastici è ben accettata l'esclusione dei numeri oltre la seconda cifra decimale. Dunque, escludendoli, il risultato totale sarebbe:

3.750.000.000.000

oppure includendoli il risultato è il seguente:

3.759.858.400.000

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Per misurare la lunghezza e la distanza si utilizza il metro come unità di misura e i suoi multipli e sottomultipli. Per misurare le superfici di una forma geometrica si utilizzano i metri quadrati (m²), ma quando la superficie è l'estensione di un terreno devono essere utilizzate le unità di misure agrarie. Le misure agrarie ancora in uso sono l'ettaro, l'ara e la centiaria, ma in passato ve ne erano altre che sono cadute in disuso (acro, campo veronese, campo padovano, campo vicentino, pertiche ecc.).

Indice

1. Tabella misure agrarie
2. Conversione in metri quadrati
3. Ettaro
4. Ara
5. Centiaria

Tabella misure agrarie

Unità	Simbolo	Equivalenza	Valore in m²
Ettaro	ha	100 a	10.000 m²
Ara	a	1 a	100 m²
Centiaria	ca	0,01 a	1 m²

Scala misure agrarie

Per passare da un'unità di misura all'altra si deve moltiplicare o dividere. Se si sale di una posizione, si deve dividere per 100; se si scende di una posizione, si deve moltiplicare per 100. Come potete notare si applica lo stesso identico procedimento per le equivalenze nella scala dei metri quadrati.

Ad esempio, per passare da ettari ad ara si deve scendere di una posizione, quindi bisogna moltiplicare il valore iniziale per 100.

1 ha = 100 a

Per passare da ara a ettaro si deve deve salire di una posizione, quindi bisogna dividere il valore iniziale per 100.

1 a = 0,01 ha

Da misure agrarie a metri quadrati

Le misure agrarie e i metri quadrati sono misure di superficie, pertanto è possibile passare da un sistema di misura all'altro. Vi andremo a spiegare questo "rapporto" analizzando le tre unità di misure agrarie prese singolarmente. Inoltre, vi informiamo che sul nostro sito è anche presente uno strumento che converte le misure agrarie in metri quadrati, provate il convertitore misure agrarie online!

Ettaro

L'ettaro è un'unità di misura agraria, multiplo dell'ara, il cui simbolo è ha. Per spiegare il rapporto fra ettaro e metri quadrati, possiamo dire che 1 ettaro è l'equivalente di 10.000 metri quadrati. In altre parole, un ettaro corrisponde a una superficie quadrata che ha un lato che misura 100 metri.

1 ha = 10.000 m²

1 ha = 1 hm²

Ara

L'ara è un'unità di misura agraria, il cui simbolo è a. Per spiegare il rapporto fra ara e metri quadrati, possiamo dire che 1 ara è l'equivalente di 100 metri quadrati. In altre parole, un'ara corrisponde a una superficie quadrata che ha un lato che misura 10 metri.

1 a = 100 m²

1 a = 1 dam²

Centiaria

La centiaria è un'unità di misura agraria, sottomultiplo dell'ara, il cui simbolo è ca. Per spiegare il rapporto fra centiaria e metri quadrati, possiamo dire che 1 centiaria è l'equivalente di 1 metro quadrato. In altre parole, una centiaria corrisponde a una superficie quadrata che ha un lato che misura 1 metro. Dunque, a livello di quantità di terreno, dire centiaria o metro quadrato è la stessa identica cosa!

1 ca = 1 m²

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Le calcolatrici classiche non consentono di calcolare la radice cubica perché hanno solamente le 4 operazioni matematiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione), la percentuale e al massimo la radice quadrata. Per il calcolo della radice cubica è necessario essere in possesso di una calcolatrice scientifica e, considerando quando sono utili e durature, vale la pena averne sempre una in casa: il loro prezzo varia dai 10 ai 20€ a seconda del modello e della marca che andrete a scegliere.

Indice

1. Procedimento con calcolatrice
2. Esempio con immagine
3. Metodi alternativi

Radice cubica con la calcolatrice: procedimento

Questi sono i passaggi da seguire per calcolare la radice cubica di un numero.

1. Prendete una calcolatrice scientifica qualsiasi (es. Canon, Sharp, Casio).
2. Digitate il numero che va messo sotto radice cubica, ad esempio 27.
3. Cercate il tasto con il simbolo della radice cubica (³√) e premetelo.

Su alcune calcolatrici il simbolo della radice cubica (³√) non si trova scritto nel tasto stesso, bensì sopra di esso, cioè nel "corpo" della calcolatrice. Avete presente che nelle tastiere dei computer è necessario usare la combinazione tasti tramite ALT e SHIFT per scrivere caratteri speciali come le vocali minuscole accentate? Questo significa che potrebbe essere necessario, dopo aver digitato il numero, premere il tasto SHIFT (o INV, a seconda della calcolatrice) e successivamente quello della radice cubica, nel modo seguente.

27 → SHIFT → ³√

oppure

27 → INV → ³√

Dal momento che la radice cubica di 27 è 3 (³√27 = 3), se otterrete questo risultato vorrà dire che avrete eseguito il procedimento in modo corretto.

Radice cubica con la calcolatrice: esempio con immagine

Nell'immagine sottostante è presente un vecchio modello di calcolatrice scientifica di marca Canon che possiede il tasto INV (inverso), invece in quelle più moderne potreste trovare il tasto SHIFT. Questo pulsante si trova solitamente in alto a sinistra come primo pultante della tastiera della calcolatrice. Nell'immagine sono stati evidenziati i due tasti da premere per trovare la radice cubica: va premuto il tasto INV perché il simbolo della radice cubica ³√ non si trova raffigurato nel tasto stesso ma sopra di esso, come se fosse una funzione secondaria che va attivata attraverso una combinazione speciale dei tasti.

Radice cubica: metodi alternativi

In assenza di una calcolatrice potrete usare uno di questi metodi:

• Calcolo radice cubica online
  È uno strumento online gratuito presente sul nostro sito che vi permetterà di calcolare la radice cubica di un numero intero o decimale, oppure la radice cubica di una frazione.
• Tavole numeriche
  In molti libri scolastici di matematica sono disponibili degli opuscoli contenenti le tavole numeriche con le radici cubiche da 1 a 1000.
  
• Calcolo radice cubica senza calcolatrice
  Chi non è in possesso di una calcolatrice e nemmeno di una connessione internet, può provare a calcolare in modo approssimativo il risultato di una radice cubica. Come? Cercando mentalmente un numero che elevato al cubo dia come risultato il radicando. Esistono anche altri trucchetti, ma sono piuttosto complessi e lunghi che non vale la pena spiegare perché non funzionano per tutti i numeri. Diciamo che per la radice cubica non si può proprio fare a meno di una calcolatrice o una tabella predisposta a questo scopo.

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La matematica non è certamente tra le materie più emozionanti per uno studente che frequenta le scuole elementari, perché appare come ripetitiva, ma imparare a fare le addizioni è assai importante nella vita di tutti i giorni, ad esempio per sommare i soldi presenti nel proprio portafoglio, per calcolare il costo totale della spesa, per sapere conoscere il guadagno settimanale e mensile avendo come unico dato il guadagno giornaliero, per trovare il perimetro di una figura geometrica (somma dei lati) ecc.

L'esercizio in questione è suddiviso in quattro parti con difficoltà crescente. Il primo esercizio comprende le addizioni a una cifra e in esso dovrete calcolare la somma o scoprire quale sia l'addendo mancante. Il secondo esercizio è pressoché identico, fatta eccezione che i numeri da addizionare sono a due cifre. Nel terzo esercizio aumenta il livello di difficoltà perché le addizioni richiedono il riporto. Fin qui tutti gli esercizi possono essere eseguiti a mente, senza carta e penna e ovviamente senza l'uso della calcolatrice. Nel quarto esercizio sono presenti numeri più "grandi", ovvero a tre cifre e con riporto, inoltre l'addizione non è più in riga bensì in colonna (per cui potete anche eseguire l'esercizio completo o i calcoli su un foglio di carta).

Completate l'esercizio inserendo le risposte nel campo vuoto e le risposte sono solo numeri (non lettere o altri simboli). Solamente al termine dell'esercizio potrete cliccare sul pulsante "Controlla le risposte" per conoscere la valutazione dell'esercizio che apparirà in formato popup o in alto appena sopra l'esercizio. Cliccando in anticipo sul pulsante vi andrà a calcolare le risposte incomplete come sbagliate e aggiungendole in un secondo momento o modificando le risposte sbagliate otterrete un punteggio più basso rispetto a chi azzecca la risposta al primo tentativo.

Si presume che questo sia un esercizio in cui molti riusciranno a raggiungere la perfezione con un punteggio del 100%. Nel caso in cui il punteggio ottenuto, anche attraverso una seconda correzione, si dovesse mantenere inferiore al 85%, potrebbe significare che abbiate alcune lacune sull'argomento e che sia necessario ripassare l'appunto di matematica sulle addizioni.

Verifica sulle addizioni per scuola elementare

1) ADDIZIONI A UNA CIFRA

4 + 2 =

3 + 3 =

8 + 2 =

5 + 3 =

9 + 0 =

3 + 2 =

+ 2 = 3

4 + = 7

+ 3 = 9

2 + = 4

8 + = 9

2) ADDIZIONI A DUE CIFRE SENZA RIPORTO

15 + 13 =

18 + 11 =

61 + 32 =

33 + 35 =

25 + 34 =

37 + 42 =

51 + 43 =

30 + 62 =

11 + 34 =

91 + = 105

25 + = 47

+ 16 = 29

+ 12 = 73

3) ADDIZIONI A DUE CIFRE CON RIPORTO

39 + 11 =

23 + 18 =

76 + 16 =

57 + 37 =

15 + 26 =

75 + 17 =

39 + 39 =

34 + 58 =

59 + 23 =

69 + 28 =

37 + 39 =

48 + = 94

83 + = 101

76 + = 95

13 + = 50

4) ADDIZIONI A DUE E TRE CIFRE IN COLONNA

18 +
17 =



35 +
48 =



77 +
24 =



19 +
92 =



94 +
79 =



89 +
32 =



133 +
277 =



111 +
199 =



148 +
363 =



368 +
409 =



816 +
75 =



476 +
284 =



230 +
384 =



517 +
224 =



495 +
358 =



778 +
95 =

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In aritmetica e, nello specifico in una divisione, vengono usati dei nomi per identificare ciascuna cifra: dividendo, divisore, quoto, quoziente, resto. Alle scuole elementari ce la spiegarono bene questa lezioncina di matematica, però, col passare degli anni, sempre meno spesso si eseguono le divisioni in colonna con carta e penna e sempre di più mediante l'uso della calcolatrice, pertanto potrebbe capitare a chiunque di dimenticarsi i loro rispettivi nomi.

Definizioni

Qui di seguito sono riportati i nomi e la loro funzione per leggere correttamente una divisione:

• Il dividendo è il numero da dividere.
• Il divisore è il numero di volte che bisogna dividere.
• Il risultato è detto quoziente o quoto, a seconda se la divisione presenta o meno il resto.
• Il resto è presente in tutte quelle divisioni in cui ci si ferma per mantenere il risultato nell'insieme dei numeri interi. Se invece si prosegue con la divisione occorre aggiungere la virgola.

Esempio

15 : 2 = 7 (con resto di 1, altrimenti il risultato sarebbe stato 7,5)

10 : 2 = 5 (senza resto)

Quoto o Quoziente?

Come già detto, per sapere che nome assegnare al risultato della divisione bisogna andare a vedere se è presente o meno il resto.

1) Nella prima divisione vi è il resto (resto = 1), per cui il risultato è detto quoziente. Di conseguenza, andando a moltiplicare il "quoto" per il "divisore" e poi andando ad aggiungere il valore del resto, si otterrà il valore esatto del "dividendo".

dividendo = quoziente × divisore + resto

2) Nella seconda divisione non vi è il resto (resto = 0), per cui il risultato è detto quoto. Di conseguenza, andando a moltiplicare il "quoto" per il "divisore" si otterrà il valore esatto del "dividendo".

dividendo = divisore × quoto

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La notazione scientifica è un metodo che permette di scrivere un numero come potenza del 10. Così facendo, tutti quei numeri molto grandi o molto piccoli caratterizzati dalla presenza di lunghe file di zeri, potranno essere espressi in un formato più rapido da scrivere e semplice da ricordare. Un chiaro esempio di numeri molto piccoli, ma anche molto grandi, sono il diametro delle cellule o la distanza tra pianeti. Per questa sua utilità trova applicazione in molte discipline scientifiche, come fisica, chimica e matematica. Tale notazione si presenta nella forma dove il numero intero, diverso da zero, compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso) e senza zeri come ultima cifra. Esso viene moltiplicato per 10 con esponente un numero positivo o negativo che varia in base al numero di zeri tolti o a quanti posti è stata spostata la virgola.

Esempio con potenze positive:

10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁶ = 1 000 000
10⁹ = 1 000 000 000
10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000

In caso di numeri interi formati da tanti zeri, si deve aumentare l'esponente della base 10, di 1 per ogni zero tolto.

ESEMPIO: 4000 = 4 × 10³

Esempio con potenze negative:

10^-1 = 1/10 = 0,1
10^-3 = 1/1000 = 0,001
10^-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

In caso di numeri decimali si deve spostare la virgola fino ad ottenere un numero compreso tra 1 e 10. In base a quanti posti è stata spostata la virgola, l'esponente della base 10 aumenta di 1, ma questa volta è negativo e si aggiunge il segno meno (-) prima di esso,

ESEMPIO: 0,004 = 4 × 10^-3

Da non confondere

Come detto in precedenza, solamente i numeri compresi tra 1 (incluso) e 10 (escluso), che non terminano per zero possono essere scritti in notazione scientifica. Quindi i seguenti:
5,80 × 10⁵
0,8 × 10^-18
15,75 × 10^-2

non sono numeri scritti in notazione scientifica, perché:
5,80 termina con uno zero.
0,8 è un numero inferiore a 1.
15,75 è un numero maggiore di 10.

Bisogna ricordare che per il calcolo della notazione scientifica di un numero, bisogna tenere a mente due semplici regole:
- l'esponente è un numero positivo se il punto decimale è stato spostato a sinistra;
- l'esponente è un numero negativo se il punto decimale viene spostato verso destra.

Dalla notazione scientifica a quella standard

Fino ad ora abbiamo visto come si esegue la notazione scientifica di un numero, ma alcuni esercizi matematici potrebbe fornirvi sin dall'inizio la notazione scientifica e chiedervi il procedimento inverso, ovvero la forma normale. Quindi quello che bisogna fare è moltiplicare il numero per una potenza del 10.

- Moltiplicare per 10 significa aggiungere uno zero o spostare la virgola verso destra di un posto.
- Moltiplicare per 10² significa aggiungere due zeri o spostare la virgola verso destra di due posti.
- Moltiplicare per 10³ significa aggiungere tre zeri o spostare la virgola verso destra di tre posti.
...
- Moltiplicare per 10^-1 significa spostare la virgola verso sinistra di un posto.
- Moltiplicare per 10^-3 significa spostare la virgola verso sinistra di due posti.
- Moltiplicare per 10^-3 significa spostare la virgola verso destra di tre posti.

Se abbiamo ad esempio:

1,5 × 10⁵
Significa che:
1,5 × (10×10×10×10×10) = 1,5 × 100000 = 150000


Se abbiamo ad esempio:
1,5 × 10^-5
Significa che:
1,5 : (10×10×10×10×10) = 1,5 : 100000 = 0,000015


Per calcoli di questo tipo non conviene eseguire la moltiplicazione o la divisione a mente o con la calcolatrice, operare con lo spostamento della virgola è il metodo più semplice e corretto.

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Il seno di x è una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In questa pagina potete trovare il grafico e le proprietà della funzione seno.

GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO

PROPRIETA'  DELLA FUNZIONE SENO

Dominio: 

Periodicità: 

Monotonia (intervalli di crescenza/descrescenza): crescente su    , decrescente su tutta la restante parte di dominio.

Concava (cioè con cavità verso il basso) su  , convessa sulla parte restante di dominio.

Continua su tutto , derivabile su tutto 

Derivata:  

Integrale:  

Limite notevole associato: 

Limiti agli estremi del dominio: NON ESISTONO, poichè la funzione seno è una funzione limitata e compresa tra -1 ed 1 e quindi non tende all'infinito. (si, si è una funzione pigra, non vuole muoversi dal letto :D :D)

Sviluppo di Taylor:
  

Autore: Pierfrancesco Di Vanni

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Lo sviluppo in serie di Taylor (o Polinomio di Taylor) consiste nel rappresentare una funzione data in un intorno del punto  (dove  indica un generico numero reale). Questa rappresentazione avviene mediante un polinomio, che appunto rappresenta la funzione nell'intorno del punto.

Per sviluppare una funzione in serie con Taylor bisogna tener conto di due cose:

- il punto  dove rappresentare la funzione.

- l' ordine dello sviluppo, cioè il massimo grado che il polinomio può assumere ( es. sviluppo della funzione esponenziale: .  Il massimo grado che il polinomio assume è 5, quindi l'ordine dello sviluppo è 5.)

FORMULA DI TAYLOR E TEOREMA RELATIVO

Il teorema di Taylor ci dice che:

Presa una funzione reale di variabile reale derivabile diverse volte in un intervallo (a, b) vale la seguente formula: 

dove  è una qualsiasi funzione tale che:

e 

La formula di Taylor può essere riscritta in una forma più compatta:

Ecco il grafico della funzione   rappresentato mediante il Polinomio di Taylor nel punto  =0

e arrestato all'ordine 5.

Qui c'è lo sviluppo in serie: 

Autore: Pierfrancesco Di Vanni

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In matematica, i numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli, con e senza virgola. Quando un numero è formato da due parti divise da una virgola, viene chiamato numero decimale. La parte a sinistra della virgola viene detta parte intera e quella a destra viene detta parte decimale. I numeri decimali possono avere infinite cifre dopo la virgola, ed essendo scomodo ed a volte impossibile doverle scrivere tutte si decide di utilizzare il metodo dell'approssimazione dei numeri decimali che varia a seconda della grandezza che si sta misurando, in ogni caso si opera con accuratezza per non stravolgere il valore numerico.

La prima cosa da fare quando si ha un numero decimale con molteplici cifre dopo la virgola è quello di individuare di che tipo si tratta.

• Limitato: si a quando si riesce a contare la fine delle cifre dopo la virgola, cioè sono un numero finito (es. 10,56789).
• Periodico semplice: quando dopo la virgola è presente un numero che si ripete sempre (es. 10,33333333)
• Periodico misto: quando dopo la virgola compare un numero solo una volta e poi a seguire vi sono numeri che si ripetono con periodicità. (es. 10,933333)

L'approssimazione di un numero decimale consiste nel ridurre il numero di cifre dopo la virgola per renderlo facilmente scrivibile. Di solito si utilizzano le prime due cifre dopo la virgola ma a seconda del testo di un'esercizio o di un altro qualsiasi calcolo potrebbe essere necessario inserirne un numero diverso.

Qui di seguito potete trovare tutti i tipi di approssimazione:

• A meno di un'unità = 1
• A meno di un decimo = 1,3
• A meno di un centesimo = 1,03
• A meno di un millesimo = 1,003

L'approssimazione va eseguita osservando la prima cifra da escludere, se è inferiore, pari o maggiore di 5 è possibile avere due tipi di approssimazione:

- Approssimazione per difetto: si guarda l'ultima cifra scritta e se questa è inferiore a 5 (es. 4,3,2,1), si lascia il numero così com'è, quelli successivi si sostituiscono con gli zeri e quindi si possono anche non mettere. Approssimare per difetto significa che si va a togliere le cifre successive, andando a diminuire il valore originale del numero.

ESEMPIO: 1,342178 --> 1,34 (a meno di un centesimo)

- Approssimazione per eccesso: si guarda l'ultima cifra scritta e se questa è maggiore o uguale a 5 (es, 5,6,7,8,9) si va ad aumentare il numero di un punto, le cifre successive vengono sostituite da tanti zeri quanto sono le cifre che si possono anche omettere in quanto non hanno valore. Approssimare per eccesso significa che il numero diventerà leggermente più grande rispetto a prima.

ESEMPIO: 1,347128 --> 1,35 (a meno di un centesimo)

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