Il teorema di Pitagora è la relazione (dimostrata, come avviene per tutti i teoremi) che sussiste tra i tre lati di un qualsiasi triangolo rettangolo:

i² = C²+c² (relazione pitagorica)

La sua applicazione permette di calcolare la misura di un lato di un triangolo rettangolo conoscendone gli altri due.

i = √(C² + c²)
C= √(i² - c²)
c = √(i² - C²)

Non ha tutti questa cosa può entrare subito in testa, e per fortuna che nel web è possibile trovare dimostrazioni di questo teorema anche senza l'uso di formule, ad esempio Elena Maria Rossi, ha voluto proporci alcune sue idee che sono le seguenti:

METODO CREATIVO

1. Prendete un cartone e disegnate su di esso un rettangolo di dimensioni note. Disegnate i quadrati sui cateti e sull'ipotenusa.
2. Stendete uno strato di pongo (va bene anche plastilina o das) di altezza nota ed uguale per tutta la superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa e recuperare il materiale (pongo o plastilina o das).
3. Con il materiale recuperato stendete uno strato della stessa altezza (di quello precedentemente distribuito sull'ipotenusa) sul quadrato costruito su un cateto e sul quadrato costruito sull'altro cateto.
4. Verificate che non manchi materiale e che tutte e due le superfici siano perfettamente ricoperte.

METODO CON  PERLINE COLORATE

1. Disegnate un triangolo rettangolo su di un foglio di carta.
2. Allestite un solo strato di perline colorate sul quadrato costruito sull'ipotenusa.
3. Recuperate il materiale
4. Stendete il materiale recuperato sul quadrato costruito sul cateto maggiore e sul quadrato costruito sul cateto minore.
5. Verificate che tutta la superficie sia ricoperta e che non manchi nulla.
6. Verificate che il materiale non sia stato aggiunto o perso durante il travaso.

Continua a leggere »

In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato che ha per lato l’ipotenusa a è uguale alla somma delle aree dei quadrati che hanno per lati i cateti b, c, cioè:

A² = b² + c²

Nella figura:
a = 5
B = 4
C = 3

E quindi
5² = 4² + 3²
Cioè =
25 = 16 + 9

Conseguenze del Teorema di Pitagora

1. Dati i cateti calcolare l’ipotenusa.
A =√b² + c²
Cioè: l’ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti:
Esempio: I cateti di un triangolo rettangolo sono rispettivamente
B= 28, C= 21; Calcolare l’ipotenusa
a =√28² + 21² =√784 + 441 = √1225 = 35 (ipotenusa)
Risposta: L’ipotenusa è 35.

2. Dato un cateto e l’ipotenusa calcolare l’altro cateto.
B= √a² – c²
Cioè: un cateto è uguale alla radice quadrata della differenza fra il quadrato dell’ipotenusa ed il quadrato dell’altro cateto.
Esempio: L’ipotenusa ed il quadrato dell’altro cateto.
b= √105² – 63² = √11025 – 3969 = √7056 = 84.
Il cateto b è 84.

Continua a leggere »

Biografia:
Pitagora nacque a Samo, verso il 572 a. C; abbandono, all'età di 46 anni, la sua patria e si stabilì a Crotone, ove fondò la sua comunità a scopi etici e religiosi, o scuola italica. Ben presto questa ebbe popolare diffusione, non solo in Grecia, ma anche per tutto il mondo; espandendosi sempre più (anche dopo la morte del fondatore, 500 a. C), ed esercitando grande fascino fra tutti gli studiosi del tempo.
A Pitagora si deve la ripartizione della matematica nei quattro rami: aritmetica, musica, geometria e astronomia; ripartizione che rimase nel programma di tutte le scuole, fino al medio evo, col nome di quadrivio.
Alla Scuola pitagorica si devono molte ed importantissime conquiste in ordine a tali quattro rami; caratterizzate da una logica sicura e fortemente coordinata, tale da rendere la detta scuola quale indiscutibile fonte delle più salde radici della matematica, le quali sono rimaste immutate, e sempre più salde, col proseguire dei secoli.
A tale ordine di idee appartiene il Teorema sulla relazione fra i quadrati dei lati del triangolo rettangolo attribuito da Plutarco a Pitagora.
Questa proprietà del triangolo rettangolo, si vuole che fosse già nota ai popoli orientali ed egiziani molto prima dell’epoca in cui visse Pitagora. Ad esempio in un papiro scoperto a Kahum (e che risale a quasi 2000 a. C.) si trova detta relazione per il caso particolare di una stella raffigurata.
Il segno di riconoscimento era costituito dal pentagono stellato inciso su un pezzo di legno.

3² + 4² = 5²

Continua a leggere »

Intorno al 2900 a.C gli antichi Egizi scoprirono che per alcune terne di numeri, a, b, c, corrispondenti alle misure dei lati di un triangolo rettangolo si verifica che:

A² + B² = C²

Più tardi, nel VI secolo a.C. Pitagora intuì che la proprietà scoperta dagli Egizi vale per tutti i triangoli rettangoli e quindi si può dire che:

In un qualsiasi triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati che hanno come lati i due cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa:

A + B = C

L’estensione del quadrato C è uguale alla somma delle estensione di A e di B.
Anziché graficamente e quindi senza aver avuto la possibilità di contare i quadrati interni, se avessimo avuto la possibilità di disporli su una bilancia avremmo notato che sarebbero rimasti in equilibrio.

Un'altra verifica della proprietà può essere effettuata con una prova grafica.
Costruendo otto triangoli rettangoli congruenti al triangolo ABC e due quadrati che hanno per lato la somma dei cateti del triangolo ABC, ed incollando quattro triangoli sul primo quadrato e quattro sul secondo, come rappresentato qui sotto:

Si potrebbe facilmente osservare che nella seconda figura la parte rimasta scoperta è un quadrato C che ha per lato l'ipotenusa del triangolo ABC; invece, nella seconda sono rimasti scoperti i quadrati A e B che hanno per lati, rispettivamente, i cateti a e b di ABC.

Quindi, si ha che:

Il quadrato C è equivalente alla somma dei quadrati A e B, perché differenze di poligoni congruenti.

Abbiamo così verificato la proprietà nota come Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Sappiamo che due poligoni equivalenti hanno la stessa area, quindi possiamo enunciare il teorema di Pitagora anche in questo modo:

In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

In simboli, indicando A, B, C, rispettivamente, le aree dei quadrati A, B, C, si ha che:

C = A + B; cioè:  c² = a² + b²

da cui si ricavano le seguenti formule:

a² = c² - b²
b² = c² - a²

Ora, estraendo la radice quadrata dei due membri delle ultime tre uguaglianze, si ha che:

Dunque, possiamo dire che:

La misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei cateti.

La misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell'ipotenusa e il quadrato della misura dell'altro cateto.

Le formule del teorema di Pitagora sono le seguenti:

C1= cateto maggiore; C2= cateto minore; I = ipotenusa.

Problemi con il Teorema di Pitagora

Applichiamo le formule che abbiamo scritto in precedenza nella risoluzione di due problemi.

1) Sai dire qual è la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha i cateti, rispettivamente, di 15 cm e 20 cm?   

DATI:

AB = 15 cm

AC = 20 cm

BC = ?

BC = √AB² + CA² = √15² + 20² = √225 + 400 = √625 = 25 cm.

L'ipotenusa è di 25 cm.

2) Calcola la misura del cateto AB di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che l'ipotenusa BC e il cateto AC sono, rispettivamente, di 2,6 m e 2,4 m.

DATI:

BC = 2,6 m

CA = 2,4 m

AB = ?

AB = √BC² - CA² = √2,6² - 2,4² = √6,76 - 5,76 = √1 = 1 m.

La misura del cateto AB è 1 m.

Continua a leggere »

Biografia in sintesi:
Pitagora, matematico e filosofo del 6° secolo a.C., nacque a Samo in Grecia, poi si trasferì a Crotone nella Magna Grecia, dove fondò la prestigiosa scuola pitagorica.
A questa scuola vengono attribuiti studi matematici di notevole importanza; famosa è la dimostrazione note come teorema di Pitagora.

Continua a leggere »

Per determinare le basi delle piramidi o per fissare i limiti di qualche terreno, gli antichi Egizi ricorrevano spesso alla costruzione dell’angolo retto.

Ma come procedevano?
Usavano il metodo della corda: prendevano una corda suddivisa con dei nodi in dodici unità di lunghezza, fissavano nel terreno due paletti alla distanza di quattro unità, poi, come è rappresentato nella figura, sistemavano una parte della corda intorno ai due paletti e tendevano le parti di tre e di cinque unità finché i due estremi si incontravano in un punto dove veniva posto un terzo paletto.

Il triangolo che si ottiene è rettangolo e i tre numeri corrispondenti alle unità dei lati sono tali che:

3² + 4² = 5²

Si pensa che altri triangoli rettangoli siano stati individuati dagli antichi; agli indiani e ai Cinesi si attribuisce la scoperta del triangolo rettangolo con i lati costituiti da 5, 12 e 13 unità di lunghezza e ai Babilonesi quello con i lati formati da 18, 24, 30 unità.

Anche per queste terne che, come quella precedente, sono chiamate terne pitagoriche, dal nome del famoso matematico greco Pitagora, si ha che:

5² + 12² = 13²

18² + 24² = 30²

Cioè il quadrato del numero maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due numeri.
Le terne 3, 4, 5 e 5, 12, 13 sono dette primitive perché costituite da numeri primi fra loro.
Ora se moltiplichiamo e dividiamo per 2 i numeri di queste terne, possiamo facilmente verificare che:

6² + 8² = 10²
1,5² + 2² = 2,5²
10² + 24² = 26²
2,5² + 6² = 6,5²

In generale, possiamo dire che da una terna primitiva possiamo ottenere un’altra terna pitagorica moltiplicando o dividendo per uno stesso numero, diverso da 0, tutti i numeri della terna.
Se vogliamo trovare terne primitive dobbiamo sostituire a n un numero maggiore o uguale a 2 nelle seguenti formule:

a = n

b = (n² - 1) / 2

c = (n² + 1) / 2

Con questa regola intuita da Pitagora possiamo ottenere terne pitagoriche primitive formate da tre numeri, a, b, c tali che:

a² + b² = c²

Ad esempio, se n = 7 otteniamo:

a = 7

b = (7² - 1) / 2 = 24

c = (7² + 1) / 2 = 25

Verifichiamo ora che i numeri 7, 24 e 25 primi fra loro, costituiscono una terna pitagorica:

7² + 24² = 25²

infatti:

49 + 576 = 625

Continua a leggere »