Le Terne Pitagoriche


Per determinare le basi delle piramidi o per fissare i limiti di qualche terreno, gli antichi Egizi ricorrevano spesso alla costruzione dell’angolo retto.

Ma come procedevano?
Usavano il metodo della corda: prendevano una corda suddivisa con dei nodi in dodici unità di lunghezza, fissavano nel terreno due paletti alla distanza di quattro unità, poi, come è rappresentato nella figura, sistemavano una parte della corda intorno ai due paletti e tendevano le parti di tre e di cinque unità finché i due estremi si incontravano in un punto dove veniva posto un terzo paletto.

Il triangolo che si ottiene è rettangolo e i tre numeri corrispondenti alle unità dei lati sono tali che:

3² + 4² = 5²

Si pensa che altri triangoli rettangoli siano stati individuati dagli antichi; agli indiani e ai Cinesi si attribuisce la scoperta del triangolo rettangolo con i lati costituiti da 5, 12 e 13 unità di lunghezza e ai Babilonesi quello con i lati formati da 18, 24, 30 unità.

Anche per queste terne che, come quella precedente, sono chiamate terne pitagoriche, dal nome del famoso matematico greco Pitagora, si ha che:

5² + 12² = 13²

18² + 24² = 30²

Cioè il quadrato del numero maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due numeri.
Le terne 3, 4, 5 e 5, 12, 13 sono dette primitive perché costituite da numeri primi fra loro.
Ora se moltiplichiamo e dividiamo per 2 i numeri di queste terne, possiamo facilmente verificare che:

6² + 8² = 10²
1,5² + 2² = 2,5²
10² + 24² = 26²
2,5² + 6² = 6,5²

In generale, possiamo dire che da una terna primitiva possiamo ottenere un’altra terna pitagorica moltiplicando o dividendo per uno stesso numero, diverso da 0, tutti i numeri della terna.
Se vogliamo trovare terne primitive dobbiamo sostituire a n un numero maggiore o uguale a 2 nelle seguenti formule:

a = n

b = (n² - 1) / 2

c = (n² + 1) / 2

Con questa regola intuita da Pitagora possiamo ottenere terne pitagoriche primitive formate da tre numeri, a, b, c tali che:

a² + b² = c²

Ad esempio, se n = 7 otteniamo:

a = 7

b = (7² - 1) / 2 = 24

c = (7² + 1) / 2 = 25

Verifichiamo ora che i numeri 7, 24 e 25 primi fra loro, costituiscono una terna pitagorica:

7² + 24² = 25²

infatti:

49 + 576 = 625


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