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Trapezi Rettangolo Simili


Due trapezi rettangolo sono simili e il rapporto tra le loro aree è 4 / 25. Il primo ha la base di 10 cm, la base minore di 3 cm e l'altezza di 24 cm. Calcola il perimetro del secondo trapezio.

Svolgimento:
Si può risolvere con due metodi diversi.

Primo metodo:
Dunque, cominciamo da una proporzione: a : b = c : d
da cui
a*d = b*c

Le grandezze devono essere fra loro PROPORZIONALI! Ricordate questa osservazione: fra un poco la useremo.

Con i dati del problema riferiti al primo trapezio, possiamo calcolare il lato obliquo, infatti:
detti ABCD i vertici del trapezio di base AB=10, CD=3, AD=CH=24 possiamo calcolare con Pitagora il lato BC=√(24²+7²)=√(576+49)=√(625)=25 cm
PERIMETRO= 10+25+3+24=62 cm
AREA=(b+B)*h/2=13*24/2=156 cm²

Perciò l'area del secondo trapezio e' 4:25=156:x
da cui
 x=25*156:4 = 975 cm²

La prima proporzione opera su aree le cui dimensioni sono "al quadrato", cioè 4 : 25 indicano due grandezze quadrate! Ciò vuol dire che le LORO LUNGHEZZE INIZIALI SONO LA RADICE QUADRATA DI CIASCUNO, cioè 2 : 5

Poiché il perimetro è una GRANDEZZA DI PRIMO GRADO possiamo calcolare il secondo perimetro usando questi due valori come primi termini di una proporzione:

2:5 = 62:x
da cui
 x=5*62:2=155 che e' il valore del secondo perimetro!!


Secondo metodo:

Se i rapporto delle aree è 4/25, il rapporto dei lati è √(4/25) = 2/5. Pertanto il secondo trapezio ha le dimensioni del primo moltiplicate per 5/2.

Pertanto il secondo trapezio ha base minore = 5/2 x 3 = 7,5 cm

altezza = 5/2 x 24 = 60 cm

base maggiore = 5/2 x 10 = 25 cm

Proiezione lato obliquo su base maggiore = 25 - 7,5 = 17,5 cm

Lato obliquo (con Pitagora) = √(17,5² + 60²) = 62,5 cm

Perimetro = 25 + 7,5 + 62,5 + 60 = 155 cm


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