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Segmenti di tangenti PA e PB condotti a una cinrconferenza

I segmenti di tangenti PA e PB condotti a una circonferenza da un punto P distante 75 cm dal centro O,sono lunghi 60 cm.
Calcola:
la misura del raggio e della corda AB;
il rapporto tra l'area del cerchio e quella per quadrilatero PAOB

Svolgimento:
Impostiamo la figura come nell'immagine.

Dato che AP e BP sono tangenti alla circonferenza, esse formano un angolo retto con i raggi OA e OB.
Per questo possiamo, con il teorema di Pitagora, calcolarci il raggio della circonferenza:

r = OA = radice quadrata di(OP^2-AP^2) = √(5625 - 3600) = √(2025) = 45 cm

Ora per trovare la corda AB dobbiamo pensare che l'area del triangolo OAP è data dal prodotto dei cateti OA * AP oppure per il prodotto dell'ipotenusa per l'altezza relativa ad essa: OP * AH, per cui:

Area OAP = AP * OA /2 = OP * AH /2 ----> AH = AP * OA / OP = 60 * 45 /75 = 36 cm

Quindi la corda AB = 2 * AH = 72 cm

Calcoliamo l'area del quadrilatero come la somma delle aree dei triangoli OAP e OBP, che sono uguali tra di loro quindi :

Area PAOB = 2 * Area OAP = 2 * AP * OA /2 = AP * OA = 45 * 60 = 2700 cm²

Area Cerchio = pigreco * raggio al quadrato = 3,14 * 1296 = 4069,44 cm²

Rapporto tra area cerchio e area PAOB = 4069,44/2700 = 1,5072



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