Rotazione Trapezio Rettangolo Attorno alla Base Maggiore


Calcola l'area della superficie totale ed il volume del solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore sapendo che il trapezio ha l'area di 1566 cm² e che l'altezza e la base minore misurano rispettivamente 27 cm e 40 cm.

Legenda:
B = Base maggiore trapezio
b = base minore trapezio
h = altezza trapezio

Dati:
h = 27 cm
b = 40 cm
Area = 1566 cm²

Procedimento:
Calcoliamo la base maggiore del trapezio:
Area = (b + B) * h / 2
b + B = 2 * Area / h
B = (2 * Area / h ) - b
B = (2 * 1566 / 27) - 40
B = 76 cm

Il solido generato dalla rotazione sarà un solido composto da un cilindro sormontato da un cono avente in comune una delle due basi del cilindro.
La base maggiore del trapezio corrisponde alla somma dell'altezza del cilindro e del cono.
Indichiamo con h1 l'altezza del cilindro e con h2 l'altezza del cono.
Sappiamo che:
h1 = base minore = 40 cm
h2 = Base maggiore - base minore = 36 cm
il raggio di base del cilindro (r) è uguale all'altezza del trapezio, per cui:
r = h = 27 cm
Calcoliamo infine l'apotema (a) del cono con il teorema di Pitagora:
a = √ (36² + 27²) = 45 cm

Possiamo ora calcolare la superficie totale e il volume del solido:

Area di base cilindro = π * r² = 729π cm²
Superficie laterale cilindro = 2 * π * r * h1 = 2 * 27 * 40 * π = 2160π cm²
Superficie laterale cono = π * r * a = π * 27 * 45 = 1215π cm²
Superficie totale solido = Area base + SL cilindro + SL cono = 729 + 2160 + 1215 = 4104 cm²

Volume cilindro = π * r² * h1 = π * 729 * 40 = 29160π cm³
Volume cono = 1/3 * π * r² * h2 = 1/3 * 729 * 36 * π = 8748π cm³
Volume totale solido = V cilindro + V cono = 29160 + 8748 = 37908π cm³



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