Un solido, costituito da due coni aventi la base in comune e i vertici situati dalla parte opposta rispetto a essa, ha l'area della superficie di 840 π cm². Sapendo che l'area della superficie laterale di un cono è i 17/39 dell'altra e che il raggio di base misura 15 cm, calcola il volume del solido. (Risultato 3300 π cm³)
Svolgimento:
Indichi con S1 e S2 le due superfici laterali dei due coni e hai:
S1 + S2 = 840π
S1 = 17/39 * S2
sostituisci il valore di S1 della seconda nella prima equazione:
17/39*S2 + S2 = 840π da cui
56/39*S2 = 840π ossia
S2 = 840*39/56 π = 585π da cui
S1 = 17/39 * S2 = 17/39 * 585π = 255 π
Quindi dalla formula della superficie laterale SL=π*r*a puoi trovare i due apotemi a1 e a2 dei coni:
a1 = S1/(π*r) = 255/15 = 17 cm
a2 = S2/(π*r) = 585/15 = 39 cm
Ora devi trovare le altezze h1 e h2 dei coni:
h1 = √17² - 15² = √289 - 225 = √64 = 8 cm
h2 = √a2² - r² = √39² - 15² = √1521 - 225 = √1296 = 36 cm
Il volume V è dato dalla somma dei singoli volumi V1 e V2:
V1 = π* r² * h1 / 3 = 225 * 8π / 3 = 600 π cm³
V2 = π* r² * h2 / 3 = 225 * 36π / 3 = 2700 π cm³
V = V1 + V2 = 600π + 2700π = 3300π cm³
Svolgimento:
Indichi con S1 e S2 le due superfici laterali dei due coni e hai:
S1 + S2 = 840π
S1 = 17/39 * S2
sostituisci il valore di S1 della seconda nella prima equazione:
17/39*S2 + S2 = 840π da cui
56/39*S2 = 840π ossia
S2 = 840*39/56 π = 585π da cui
S1 = 17/39 * S2 = 17/39 * 585π = 255 π
Quindi dalla formula della superficie laterale SL=π*r*a puoi trovare i due apotemi a1 e a2 dei coni:
a1 = S1/(π*r) = 255/15 = 17 cm
a2 = S2/(π*r) = 585/15 = 39 cm
Ora devi trovare le altezze h1 e h2 dei coni:
h1 = √17² - 15² = √289 - 225 = √64 = 8 cm
h2 = √a2² - r² = √39² - 15² = √1521 - 225 = √1296 = 36 cm
Il volume V è dato dalla somma dei singoli volumi V1 e V2:
V1 = π* r² * h1 / 3 = 225 * 8π / 3 = 600 π cm³
V2 = π* r² * h2 / 3 = 225 * 36π / 3 = 2700 π cm³
V = V1 + V2 = 600π + 2700π = 3300π cm³
