Formula Area del Triangolo


Consideriamo il triangolo ABD e costruiamo il parallelogrammo ABCD conducendo per D la parallela ad AB e per B la parallela ad AD, come in figura. Il triangolo ABD e il parallelogrammo ottenuto hanno la stessa base e la stessa altezza, inoltre i triangoli ABD e BCD sono congruenti perché, come già sappiamo, la diagonale BD divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti..

Da ciò si ha che:
Un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo di uguale base e uguale altezza.

Possiamo quindi dire che:

L'area di un triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella della relativa altezza e dividendo il prodotto per due.

Indicando con A l'area, con b la misura della base e con h quella della altezza ad essa relativa, abbiamo che:


Ora, se moltiplichiamo i due membri per 2 e li dividiamo una volta per h e una volta per b, otteniamo le seguenti formule inverse:



Problemi di geometria sul Triangolo

1) Come esempio, calcoliamo l'area di un triangolo sapendo che la base b è di 16 cm e l'altezza h di 6 cm.

DATI:
b = 16 cm
h = 6 cm

Si ha:

A = (b * h) : 2 = (16 * 6) : 2 = 48 cm^2
L'area del triangolo è di 48 cm^2.


In un triangolo rettangolo ABC, a sinistra,
se consideriamo come base un cateto, a esempio AB, l'altezza ad esso relativa è l'altro cateto AC; quindi:

L'area di un triangolo rettangolo si ottiene moltiplicando le misure dei due cateti e dividendo il prodotto ottenuto per 2.






2) Proviamo, ora, per esempio (rispetto il triangolo riportato sopra, a considerare come base l'ipotenusa BC e a determinare la misura dell'altezza AH ad essa relativa, sapendo che l'are è di 54 cm^2 e l'ipotenusa è di 15 cm.

DATI:
A = 54 cm^2
BC = 15 cm
AH = ?

h = (A * 2) / b = (54 x 2) : 15 = 7,2 cm.
L'altezza relativa all'ipotenusa è di 7,2 cm.

Infine enunciamo la formula di ERONE, dal nome di un famoso matematico greco, che ci consente di determinare l'area di un triangolo conoscendo le misure dei tre lati.
Se indichiamo con p la misura del perimetro, con a, b e c le misure dei tre lati, si ha che:


quindi, possiamo dire che:
L'area di un triangolo si ottiene estraendo la radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le differenze fra il semiperimetro e ognuno dei suoi lati.

3) Ad esempio, sai dire qual è l'area del triangolo ABC in cui i lati sono di 31,5 m, 25,5 m e 15 m?

DATI:
AB = 31,5 m
BC = 25,5 m 
CA = 15 m
A = ?

Indichiamo con a, b c le misure, rispettivamente, dei lati BC, AC e AB, si ha:

p / 2 = (c + a + b) : 2 = (31,5 + 25,5 + 15) / 2 = 36 m

Poi dobbiamo applicare la formula di Erone (quella lunga) per calcolarci l'area.
E se avrete calcolato per bene il risultato sarà 189 m^2


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