Un solido è formato da un prisma avente per base un rombo e da un cilindro avente la base inscritta nel rombo. la base del prisma ha l'area di 384 cm² e una sua diagonale misura 24 cm; l'altezza del cilindro è i 7/5 dell'altezza del prisma e la loro differenza misura 9 cm. Calcola la superficie e il volume del solido.
Legenda:
D = diagonale maggiore rombo
d = diagonale minore rombo
Prima = 1 (ovvero spigolo prisma = spigolo 1, area prisma = area 1 e così via...)
Cilindro = 2
Dati:
Area di base 1 (Ab1) = 384 cm²
d = 24 cm
altezza 2 (h2) = 7/5 altezza 1 (h1)
h2 - h1 = 9 cm
Superficie totale solido (Stot) = ?
Volume totale solido (Vtot) = ?
Procedimento:
Calcoliamo l'altra diagonale del rombo:
Area = ( d * D ) / 2
D = ( Area * 2 ) / d = ( 2 * 384 ) / 24 = 32 cm
Calcoliamo ora il lato del rombo con il teorema di Pitagora utilizzando come cateti le semilunghezze delle due diagonali del rombo:
lato (l) = √(16² + 12²) = 20 cm
Ora possiamo calcolarci il raggio della base del cilindro inscritta nel rombo:
raggio (r) = ( 16 * 12 ) / 20 = 9,6 cm
Calcoliamo ora le altezze del prisma e del cilindro risolvendo il seguente sistema:
h2 = 7/5 h1
h2 - h1 = 9 cm
Sostituiamo h2 nella seconda equazione e otteniamo:
7/5 h1 - h1 = 9 cm
2/5 h1 = 9 cm
h1 = 22,5 cm
h2 = 7/5 h1 = 7/5 * 22,5 = 31,5 cm
Possiamo ora iniziare a calcolare le superfici e i volumi dei vari solidi:
Superficie laterale prisma (SL1) = lato * 4 * h1 = 80 * 22,5 = 1800 cm²
SL2 = 2 * π * r * h2 = 19,2 * 31,5 * π = 604,8π cm² = 1900 cm²
Area base cilindro (Ab2) = π * r² = 9,6² * π = 92,16π cm² = 289,5 cm²
Superficie totale solido = SL1 + SL2 + Ab1 + Ab2 + (Ab1 - Ab2) = 1800 + 1900 + 384 + 289,5 + 94,5 = 4468 cm²
Volume 1 = Ab1 * h1 = 384 * 22,5 = 8640 cm³
Volume 2 = Ab2 * h2 = 289,5 * 31,5 = 9119,25 cm³
Vtot = V1 + V2 = 8640 + 9119,25 = 17759,25 cm³
Legenda:
D = diagonale maggiore rombo
d = diagonale minore rombo
Prima = 1 (ovvero spigolo prisma = spigolo 1, area prisma = area 1 e così via...)
Cilindro = 2
Dati:
Area di base 1 (Ab1) = 384 cm²
d = 24 cm
altezza 2 (h2) = 7/5 altezza 1 (h1)
h2 - h1 = 9 cm
Superficie totale solido (Stot) = ?
Volume totale solido (Vtot) = ?
Procedimento:
Calcoliamo l'altra diagonale del rombo:
Area = ( d * D ) / 2
D = ( Area * 2 ) / d = ( 2 * 384 ) / 24 = 32 cm
Calcoliamo ora il lato del rombo con il teorema di Pitagora utilizzando come cateti le semilunghezze delle due diagonali del rombo:
lato (l) = √(16² + 12²) = 20 cm
Ora possiamo calcolarci il raggio della base del cilindro inscritta nel rombo:
raggio (r) = ( 16 * 12 ) / 20 = 9,6 cm
Calcoliamo ora le altezze del prisma e del cilindro risolvendo il seguente sistema:
h2 = 7/5 h1
h2 - h1 = 9 cm
Sostituiamo h2 nella seconda equazione e otteniamo:
7/5 h1 - h1 = 9 cm
2/5 h1 = 9 cm
h1 = 22,5 cm
h2 = 7/5 h1 = 7/5 * 22,5 = 31,5 cm
Possiamo ora iniziare a calcolare le superfici e i volumi dei vari solidi:
Superficie laterale prisma (SL1) = lato * 4 * h1 = 80 * 22,5 = 1800 cm²
SL2 = 2 * π * r * h2 = 19,2 * 31,5 * π = 604,8π cm² = 1900 cm²
Area base cilindro (Ab2) = π * r² = 9,6² * π = 92,16π cm² = 289,5 cm²
Superficie totale solido = SL1 + SL2 + Ab1 + Ab2 + (Ab1 - Ab2) = 1800 + 1900 + 384 + 289,5 + 94,5 = 4468 cm²
Volume 1 = Ab1 * h1 = 384 * 22,5 = 8640 cm³
Volume 2 = Ab2 * h2 = 289,5 * 31,5 = 9119,25 cm³
Vtot = V1 + V2 = 8640 + 9119,25 = 17759,25 cm³
