I problemi inversi si risolvono facilmente ricordando la maniera di risolvere le equazioni od applicando direttamente le regole tante volte accennate.
In una uguaglianza:
1. In un rettangolo si conosce l'area S e la base b; calcolare l'altezza h.
2. Data l'area S di un quadrato, calcolare il lato l.
3. Data l'area S di un triangolo e l'altezza h calcola la base.
4. Di un trapezio si conoscono: l'area S, e le due basi a, b, calcolare l'altezza h.
5. Di un trapezio si conoscono: l'area S, la base b, e l'altezza h; calcolare la base a.
6. Di un poligono regolare si conosce l'area S, e l'apotema a; calcolare il perimetro P.
Sappiamo che S = (P * a) / 2
da cui P * a = 2 * S
e quindi P = 2S / a
cioè: il perimetro di un poligono regolare è uguale al doppio della sua area diviso per l'apotema.
7. Data la lunghezza C di una circonferenza, calcolare il raggio R.
Sappiamo che
C = 2π R
ne segue
R = C / 2π
cioè: dividendo la lunghezza del cerchio per il doppio di π si ottiene il raggio.
8. Data l'area S di un cerchio, calcolare il raggio R di questo.
Sappiamo che
S = πR²
e quindi
R = √S/π
cioè: estraendo la radice quadrata del quoziente fra l'area di un circolo e π, si ottiene il raggio del medesimo.
In una uguaglianza:
- Ciò che è addizionato in un membro passa nell'altro a sottrarre e viceversa.
- Ciò che è a moltiplicare in un membro passa nell'altro a dividere e viceversa.
- Se un membro è un quadrato la sua base è uguale alla radice quadrata dell'altro membro.
Esempi di problemi con formule inverse
1. In un rettangolo si conosce l'area S e la base b; calcolare l'altezza h.
La formula dell'area è S = bh, ovvero bh = S, da cui:
h = S / b
cioè l'altezza è eguale all'area divisa per la base.
2. Data l'area S di un quadrato, calcolare il lato l.
Sappiamo che
l² = S
da cui
l = √S;
cioè: il lato del quadrato si ottiene estraendo la radice quadrata dell'area.
3. Data l'area S di un triangolo e l'altezza h calcola la base.
Sappiamo che
S = 1/2 b * h
da cui
2S = b * h
e quindi
b = 2S / h
cioè: la base di un triangolo è uguale al doppio dell'area diviso per l'altezza.
Se invece è data S e b si ha:
h = 2S / b
cioè: l'altezza di un triangolo è uguale al doppio della sua area diviso per la base.
4. Di un trapezio si conoscono: l'area S, e le due basi a, b, calcolare l'altezza h.
Sappiamo che
S = [(a + b) * h] / 2
e quindi passando a + b a dividere otteniamo
h = 2S / (a + b)
cioè: l'altezza di un trapezio è uguale al doppio della sua area diviso per la somma delle basi.
5. Di un trapezio si conoscono: l'area S, la base b, e l'altezza h; calcolare la base a.
Sappiamo di già che (a + b) * h = 2S, e passando h a dividere:
a + b = 2S / h
da cui passando b al secondo membro (a sottrarre):
a = (2S / h) - b
cioè: dividendo il doppio dell'area per l'altezza si ottiene la somma delle basi, ed il valore di una di esse sarà dato sottraendo da questo risultato l'altra base.
a + b = 2S / h
da cui passando b al secondo membro (a sottrarre):
a = (2S / h) - b
cioè: dividendo il doppio dell'area per l'altezza si ottiene la somma delle basi, ed il valore di una di esse sarà dato sottraendo da questo risultato l'altra base.
6. Di un poligono regolare si conosce l'area S, e l'apotema a; calcolare il perimetro P.
Sappiamo che S = (P * a) / 2
da cui P * a = 2 * S
e quindi P = 2S / a
cioè: il perimetro di un poligono regolare è uguale al doppio della sua area diviso per l'apotema.
7. Data la lunghezza C di una circonferenza, calcolare il raggio R.
Sappiamo che
C = 2π R
ne segue
R = C / 2π
cioè: dividendo la lunghezza del cerchio per il doppio di π si ottiene il raggio.
8. Data l'area S di un cerchio, calcolare il raggio R di questo.
Sappiamo che
S = πR²
e quindi
R = √S/π
cioè: estraendo la radice quadrata del quoziente fra l'area di un circolo e π, si ottiene il raggio del medesimo.
